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¿Son los$\{\alpha \in \mathbb{Q}(\theta) | Tr(\alpha\cdot\mathbb{Z}[\theta]) \subset \mathbb{Z}\}$ los enteros algebraicos de$\mathbb{Q}(\theta)$?

¿Son los$\{\alpha \in \mathbb{Q}(\theta) \,\,|\,\, Tr(\alpha\cdot\mathbb{Z}[\theta]) \subset \mathbb{Z}\}$ los enteros algebraicos de$\mathbb{Q}(\theta)$?

$\theta$ es una raíz compleja de un polinomio irreducible monic$f$; $Tr$ denota la traza.

7voto

No en general. En el caso donde$\Bbb Z[\theta]$ es el anillo de enteros, el$\alpha$ con Tr$(\alpha \Bbb Z[\theta])\subseteq\Bbb Z$ forma un ideal fraccionario del anillo de enteros, la inversa diferente que contiene el anillo de enteros. A menos que$\Bbb Q(\theta)=\Bbb Q$ el inverso diferente no sea trivial.

Como ejemplo, considere$\theta=\sqrt2$. Luego Tr $ (\ alpha \ Bbb Z [\ sqrt2] \ subseteq \ Bbb Z [\ sqrt 2])$ iff $ \ alpha \ in \ frac14 \ sqrt 2 \ Bbb Z [\ sqrt2] $ etc.

4voto

user449025 Puntos 41

Esto nunca es cierto, a menos que el campo sean los números racionales.

El conjunto de números con su propiedad es un ideal fraccionario que (por definición) es el inverso diferente. La norma inversa de este ideal es el discriminante del campo. Un teorema de Minkowski dice que el discriminante de un campo no trivial tiene un valor absoluto estrictamente mayor que uno.

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