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Fácil ejemplo de por qué los números complejos son cool

Estoy buscando un ejemplo explicable a alguien solo saber de matemáticas de la preparatoria por qué los números complejos son necesarios. El mejor ejemplo sería posible explicar con rigor y también ser claramente importante en un día de sentido.

I. e. el complejo de la transformada de Laplace tiene aplicaciones en la fijación de precios de opciones matemáticas de finanzas, que es algo fácil de vender como importante, pero imposible de explicar todos los detalles.
Es fácil decir: a Continuación, podemos generalizar la raíz cuadrada! - pero es más difícil argumentar por qué que hace la diferencia en el mundo real.

La cuestión se ha modificado la redacción enfriar fuera de la reemplazó con una descripción para que deje de ser una opinión. Espero te sirva de ayuda :)

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Kuvo Puntos 478

Usando $e^{i\theta} = \cos \theta + \sin \theta$ es muy fácil de encontrar (y recordar) muchas identidades trigonométricas.

Por ejemplo, $e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha}e^{i\beta}$ da el seno de sumas y coseno-de-resume las fórmulas.


$$ \begin{align} e^{i(\alpha+\beta)} &= e^{i\alpha}e^{i\beta} \\ \cos(\alpha+\beta) + i \sin(\alpha+\beta) y= (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta) \\ y= (\cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta) + i (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \\ \end{align} $$

Igualando las partes reales,

$$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta$$

Equiparación de la imaginaria,

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

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Andrew Whitehouse Puntos 1353

He aquí una genial aplicación: Paso Complejo de Diferenciación

La idea básica es que normalmente calcular una derivada como:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Esto requiere la evaluación de $f$ dos veces. Pero, ¿y si hacemos uso de los números complejos?

$$f'(x) \approx \frac{f(x+ih)-f(x)}{ih}\approx \frac{\Im{f(x+ih)}}{ih} $$

Ahora sólo tenemos que evaluar $f$ una vez!* ($\Im(z)$ es sólo la parte imaginaria de a $z$.)
No sólo eso, sino que es mucho más numéricamente precisa, consulte el enlace de arriba.

* Esto supone que la función es un valor real para entradas reales, y la analítica. En la práctica a menudo es.

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Bernard Puntos 34415

Los números complejos son necesarios para Cardano las fórmulas de trabajo en todos los casos de tercer grado de la ecuación: $x^3+px+q=0$. La configuración de $\Delta=4p^3+27q^2$, la raíz(s), si los hubiere, están dadas por

$$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\Biggl(-q -\sqrt{\frac{\Delta}{27}}\Biggr)}+ \sqrt[3]{\frac{1}{2}\Biggl(-q +\sqrt{\frac{\Delta}{27}}\Biggr)}. $$

Ahora esta fórmula funciona bien cuando hay 1 o 2 (real) de las raíces, porque es el caso cuando $\Delta \geq 0$. Sin embargo, el caso de las 3 raíces reales corresponde para el caso de que $\Delta <0$ y por lo tanto, para utilizar la fórmula, es necesario utilizar las raíces cuadradas de los números negativos.

El ejemplo más simple es la ecuación $x^3-7x+6=0$, que tiene 3 evidentes raíces: 1, 2 y -3.

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teddy Puntos 1

Las soluciones a $x^n=1$ $$ n puntos igualmente espaciados alrededor del círculo unitario.

Por ejemplo, todos los 5 valores de $x$ que satisfacer $x^5=1$ se encuentran en los puntos The 5 roots of $x^5=1$

(Imagen de la Wikipedia.)

Es, con resultados como este, que motivan y justifican la 2-dimensiones de la representación de los números complejos por el plano complejo.

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AR. Puntos 5939

Comparar la solución de una toma de CA de circuitos con capacitores e inductores con complejo de cantidades con cualquier otro método.

La generalización de la resistencia a la impedancia hace el cálculo completo simplemente arrastrando los pies alrededor de un par de números (que puede o puede no tener ningún significado intuitivo), en comparación a hacer esencialmente la misma cosa, por ejemplo, la gráfica de los métodos.

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