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¿Existen los números complejos "tridimensionales"?

Como ingeniero, aprendí mucho sobre el uso de los números complejos. Una forma que he escuchado $i$ , el número complejo unitario, definido es:

Es ortogonal a la recta de los números reales. Porque $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x} = e^{x}$ podemos ver claramente $e^{\pi i} = -1.$

y el profesor dibuja el círculo unitario.

Sin embargo, esta no es una definición única de $i$ . Mientras que el real 1 es $\hat{x}$ y $i$ representa $\hat{y}$ en la pizarra, hay $\hat{z}$ , $\hat{w}$ etc. que también satisfacen las ecuaciones anteriores.

Podemos utilizar la rotación para trasladar $\hat{z}$ a $\hat{y}$ . Por lo tanto, todavía es posible utilizar la definición "bidimensional" $\mathbb{C}(a) <=> \hat{x} \Re(a) + \hat{y}(-\Im^2(a))$ . En otras palabras, si sólo se preocupan de que $i^2 = -1$ entonces no importa cuál del conjunto infinito de $i$ s que elijas.

Sin embargo, podríamos considerar $?(a) <=> \hat{x} \bullet a + \hat{y} \bullet a + \hat{z} \bullet a$ que satisface $e^{\pi \hat{y}} = -\hat{x}$ , $e^{\pi \hat{z}} = -\hat{x}$ y $e^{\pi \hat{y}\hat{z}} = -\hat{x}$ .

¿Son estos números considerados más útiles que los números complejos normales?

Nota: No estoy preguntando sobre $\mathbb{C}^3$ , $\mathbb{C}^4$ ... como se discute en ¿Plano complejo tridimensional?

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Michael Hardy Puntos 128804

William Rowan Hamilton presentó cuaterniones en el siglo 19. Estos generalizar los números complejos y también generalizar cruz-productos de vectores. Una cuádrupla es un objeto de la forma $$ a + bi + cj + dk \etiqueta de Un $$ donde $a,b,c,d$ son reales y números de $i,j,k$ son objetos que se pueden multiplicar de la siguiente manera: \begin{align} i^2 = j^2 = k^2 & = -1 \\ ij = k & \qquad ji = -k \\ jk = i & \qquad kj = -i \\ ki = j & \qquad ik = -j \end{align} Adición y sustracción de los cuaterniones es el término por término.

Observe que $\pm i, \pm j, \pm k$ no son las únicas raíces cuadradas de $-1$: si $a=0$$b^2+c^2+d^2=1$, entonces el cuadrado de la expresión $(\mathbf A)$ por encima de es $-1$.

El uso de cuaterniones en la física fue sustituida por el uso de vectores en $\mathbb R^3$ con el habitual punto y cruz-productos, pero cuaterniones se utilizan hoy en día en los gráficos por ordenador.

Cuaterniones permitirse el lujo de una manera fácil de ver que el espacio de rotaciones de $\mathbb R^3$ que dejan el origen fijo no es simplemente conexa, como sigue. En primer lugar demostrar que el mapa $$ bi+cj+dk \mapsto (Pi + Qj +Rk)\Big(bi+cj+dk\Big)(Pi + Qj +Rk)^{-1} $$ es una rotación de la $3$-dimensional en el espacio de "puro" cuaterniones ("puro" significa la parte real $a$$0$). A continuación, observa que los dos cuaterniones $\pm(Pi + Qj +Rk)$ ambos representan la misma rotación. Eso significa que una ruta de acceso en el ámbito de $Pi + Qj +Rk$ $-(Pi + Qj +Rk)$corresponde a una trayectoria en el espacio de las rotaciones, de un particular giro a sí mismo, que no puede ser contratado a un punto.

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