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¿Cuáles son algunas aplicaciones elementales de álgebra lineal fuera de las matemáticas?

Estoy TAing álgebra lineal próximo trimestre, y se me ocurre que sólo conozco un ejemplo de una aplicación que se puede presentar a mis alumnos. Estoy buscando las aplicaciones elementales de álgebra lineal fuera de las matemáticas que yo podría hablar en la sección de discusión.

En nuestra clase, nos cubren los aspectos básicos (transformaciones lineales; matrices; los subespacios de $\Bbb R^n$; rango-nulidad), ortogonal de matrices y el producto escalar (incl. menos plazas!), diagonalización, formas cuadráticas, y singular-la descomposición de valor.

Mostrando mi ignorancia, la única aplicación de estos que yo conozco es la que se presentó en la clase de álgebra lineal tomé: representación de sistemas dinámicos como procesos de Markov, y diagonalizing la matriz de involucrados para obtener una buena fórmula para el $n$th estado del sistema. Pero seguro que hay más de estos.

¿Cuáles son algunas de las aplicaciones del álgebra lineal cubierto en un primer curso, que pueden motivar al sujeto para que los estudiantes?

62voto

Huy Puntos 3003

Yo era un asistente de enseñanza en el Álgebra Lineal semestre anterior y he recogido un par de aplicaciones para presentar a mis alumnos. Este es uno de ellos:

Algoritmo PageRank de Google

Este algoritmo es el "corazón" del motor de búsqueda y ordena los documentos de la world-wide-web por su "importancia" en orden decreciente. Por el bien de la simplicidad, echemos un vistazo a un sistema que sólo contienen de cuatro diferentes sitios web. Nos dibuje una flecha desde $i$ a $j$ si hay un enlace desde $i$ a $j$.



El objetivo es calcular un vector $\underline{x} \in \mathbb{R}^4$, donde cada entrada $x_i$ representa la página web de su importancia. Un valor más grande, significa que el sitio web es más importante. Existen tres criterios que contribuyen a la $x_i$:

  1. Los sitios web más contienen un enlace a $i$, el más grande de $x_i$ se.
  2. Enlaces desde sitios web más importantes tienen la más relevante el peso que los de los menos importantes sitios web.
  3. Enlaces de un sitio web que contiene muchos enlaces a otros sitios web (outlinks) tienen menos peso.

Cada sitio web tiene exactamente un "voto". Este voto es distribuido de manera uniforme para cada uno de los sitio web de la outlinks. Esto se conoce como la Web de la Democracia. Esto conduce a un sistema de ecuaciones lineales para $\underline{x}$. En nuestro caso, para

$$P = \begin{pmatrix} 0&0&1&1/2\\ 1/3&0&0&0\\ 1/3& 1/2&0&1/2\\ 1/3&1/2&0&0 \end{pmatrix}$$

el sistema de ecuaciones lineales lee $\underline{x} = P \underline{x}$. La matriz $P$ es un stochastical de la matriz, por lo tanto $1$ es un autovalor de $P$. Uno de los correspondientes vectores propios es

$$\underline{x} = \begin{pmatrix} 12\\4\\9\\6 \end{pmatrix},$$

por lo tanto $x_1 > x_3 > x_4 > x_2$. Vamos

$$G = \alpha P + (1-\alpha)S,$$

donde $S$ es una matriz que corresponde a la puramente aleatorio de navegación sin enlaces, es decir, todas las entradas son de $\frac{1}{N}$ si hay $$ N de sitios web. La matriz de $G$ es llamado el Google-matriz. Los inventores del algoritmo PageRank, Sergey Brin y Larry Page, eligió $\alpha = 0.85$. Tenga en cuenta que $G$ es todavía un stochastical de la matriz. Un autovector para el autovalor $1$ de $\underline{x} = G \underline{x}$ en nuestro ejemplo sería (redondeado)

$$\underline{x} = \begin{pmatrix} 18\\7\\14\\10 \end{pmatrix},$$

que conducen a la misma clasificación.

38voto

Huy Puntos 3003

Otra aplicación muy útil de álgebra Lineal es

La Compresión de la imagen (Usando el SVD)

Real de la matriz $A$ puede ser escrito como

$$A = U \Sigma V^T = \sum_{i=1}^{\operatorname{rango}(A)} u_i \sigma_i v_i^T,$$

donde $U$ y $V$ son matrices ortogonales y $\Sigma$ es una matriz diagonal. Cada imagen en escala de grises puede ser representada como una matriz de los valores de intensidad de los píxeles, donde cada elemento de la matriz es un número entre cero y uno. Para imágenes de mayor resolución, tenemos que almacenar números más en la intensidad de la matriz, por ejemplo, un 720p en escala de grises de la foto (1280 x 720), hemos 921'600 elementos en su intensidad de la matriz. En lugar de utilizar almacenamiento por el ahorro de todos esos elementos, la descomposición de valor singular de la matriz conduce a una simplificación de la matriz que requiere mucho menos espacio de almacenamiento.

Usted puede crear un rango de $J$ aproximación de la imagen original mediante el uso de los primeros $J$ singular valores de la intensidad de la matriz, es decir, sólo mirando

$$\sum_{i=1}^J u_i \sigma_i v_i^T .$$

Esto ahorra una gran cantidad de espacio en disco, pero también hace que la imagen pierda parte de su claridad visual. Por lo tanto, usted debe elegir un número $J$ que la pérdida de la calidad visual es mínimo, pero hay considerable ahorro de memoria. Ejemplo:



La imagen en el lado derecho es una aproximación de la imagen en el lado izquierdo, manteniendo $\aprox 10\%$ de los valores singulares. Se tarda hasta $\aprox 18\%$ de la imagen original del almacenamiento. (Fuente)

22voto

Hanseh Puntos 556

Este es un simple ejemplo, pero tal vez eso va a ser bueno para estudiantes de pregrado:

Álgebra lineal es una herramienta central en gráficos 3-d. Si desea utilizar una computadora para representar, por ejemplo, una nave espacial girando en el espacio, entonces usted puede tomar la inicial de los vértices de la nave espacial en $\mathbb{R}^3$ y golpeado por una matriz de rotación cada $.02$ segundos o así. Entonces usted tiene que procesar la imagen en 3-d en 2-d de la pantalla, lo que implica también el álgebra lineal (y otras cosas con los colores y la iluminación, probablemente)

Probablemente hay paquetes de gráficos que hacen muchos de los que trabajan para usted en estos días (en realidad yo no sé mucho de programación), pero el álgebra lineal está siendo una muy buena aproximación de primer orden para lo que el equipo está haciendo.

17voto

Huy Puntos 3003

También podemos utilizar el Álgebra Lineal para resolver

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Una ODA es de la forma

$$\underline{u}'(t) = a \underline{u}(t) + \underline{b}(t)$$

con $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ y $\underline{b}(t) \in \mathbb{C}^{n \times 1}$. Si tenemos una condición inicial

$$\underline{u}(t_0) = \underline{u_0}$$

este es un problema de valor inicial. Suponiendo que las entradas de $\underline{b}(t)$ se continua en $[t_0,T]$ $T > t_0$, Picard-Lindelöf proporciona una solución única en dicho intervalo. Si $a$ es diagonalisable, la solución de la homogénea valor inicial del problema es fácil de calcular.

Vamos

$$P^{-1} P = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n),$$

donde $P = \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix}$. La definición de $\tilde{\underline{u}}:= P^{-1} \underline{u}(t)$ y $\tilde{\underline{u_0}} = P^{-1} \underline{u_0}$, el IVP lee

$$\tilde{\underline{u}}'(t) = \Lambda \tilde{\underline{u}}(t), \; \tilde{\underline{u}}(t_0) = \tilde{\underline{u_0}} =: \begin{pmatrix} c_1 & \dots & c_n \end{pmatrix}^T.$$

Estos son simplemente $n$ ordinarias, ecuaciones diferenciales lineales

$$\tilde{u_j}'(t) = \lambda_j \tilde{u_j}(t), \; \tilde{u_j}(t_0) = c_j$$

por $j = 1, \dots, n$ con soluciones de $\tilde{u_j}(t) = c_j e^{\lambda_j(t-t_0)}$. Finalmente recuperar $\underline{u}(t) = P \tilde{\underline{u}}(t)$.

Ejemplo: podemos escribir

$$x"(t) = -\omega^2 x(t), \; x(0) = x_0, \; x'(0) = v_0$$

como $\underline{u}'(t) = a \underline{u}(t), \; \underline{u}(0) = \underline{u_0}$, donde $\underline{u}(t) = \begin{pmatrix} x(t) y x'(t) \end{pmatrix}^T$ y

$$A = \begin{pmatrix} 0&1\\ -\omega^2&0 \end{pmatrix} \text{ y } \underline{u_0} = \begin{pmatrix} x_0\\ v_0 \end{pmatrix}.$$

La computación de autovalores y autovectores, nos encontramos con

$$\underline{u}(t) = c_1 e^{i \omega t} \begin{pmatrix} 1\\ i \omega \end{pmatrix} + c_2 e^{-i \omega t} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \omega \end{pmatrix}.$$

Usando la condición inicial, nos encontramos con $x(t) = x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$.

Matriz exponencial: no sé si sus alumnos ya están familiarizados con la matriz exponencial, sino que mediante él podemos encontrar una solución de la homogénea problema de valor inicial dado por

$$\underline{u}(t) = e^{(t-t_0)} \underline{u_0}.$$

Para resolver la no homogénea de la ecuación diferencial, que utilizamos pueden variar las constantes. Desde cada una de las soluciones del sistema homogéneo $\underline{u}'(t) = a \underline{u}(t)$ es de la forma $\underline{u}(t) = e^{tA} \underline{c}$ para algunas constantes vector $\underline{c}$ nos $\underline{u_p}(t) = e^{tA} \underline{c}(t)$ y encontrar conectando

$$\underline{c}'(t) = e^{-tA} \underline{b}(t).$$

Por lo tanto,

$$\underline{u}(t) = e^{(t-t_0)} \underline{u_0} + \int_{t_0}^t e^{(t-s)} \underline{b}(s) \, \mathrm ds.$$

12voto

Normal Human Puntos 45168

El restringido isometría de la propiedad (RIP) de las matrices es algo que no es demasiado difícil para los estudiantes a comprender: significa que una (rectangular) de la matriz $A$ satisface $$ (1-\delta) \|x\| \le \|Ax\|\le (1+\delta)\|x\| \etiqueta{1}$$ para todos los vectores de $x$ en la mayoría de los $s$ distinto de cero componentes. La constante $\delta$ debe ser pequeño, y, por supuesto, independiente de $x$. La cantidad de $s$ es estrictamente menor que la dimensión del dominio de $Un$ (número de columnas). Esto significa que $a$ codifica escasa vectores con poca distorsión a su norma.

El hecho de que "la grasa" RIP matrices de existir (con el número de filas menos que el número de columnas) no es evidente, y no es fácil algoritmo determinista para la construcción. Pero adecuadamente al azar matrices son conocidos para satisfacer RIP con alta probabilidad. El uso de tales matrices es esencial en el trabajo de Candes y Tao desde hace unos 10 años, que forman las bases de las matemáticas de comprimido de detección, una novela de procesamiento de señal técnica que ahora se aplica en la resonancia magnética y otras áreas donde la fabricación de un gran número de mediciones es caro.

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