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Extensiones de campo finamente generadas

Esta es una pregunta realmente tonta, pero ¿por qué es$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2} : a,b \in \Bbb{Q}\}$? Estoy teniendo problemas para escribir extensiones de campo de esta manera.

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Pawel Puntos 28

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es por definición el campo más pequeño que contiene$\mathbb{Q}$ y$\sqrt{2}$. Dado que los campos se cierran bajo suma y multiplicación, tenemos la siguiente contención:

PS

Ahora, vea si puede mostrar que$$\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es en realidad un campo en sí mismo mediante la racionalización de denominadores. Esto mostrará la otra contención, demostrando que los dos conjuntos son iguales.

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jmans Puntos 3018

$\mathbb Q(\sqrt2)$ puede interpretarse de dos maneras. Una es que es el campo$\mathbb Q[x]/(x^2-2)$. Esta es una construcción abstracta de una extensión de campo de$\mathbb Q$ que contiene una solución a la ecuación$x^2-2=0$, y además es en un sentido preciso (hasta isomorfismo) la extensión de campo más pequeña. De manera menos abstracta,$\mathbb Q(\sqrt2)$ también puede interpretarse como el subcampo más pequeño de$\mathbb C$ que contiene$\mathbb Q$ y$\sqrt2$. En cualquier caso, el conjunto$\{a+b\sqrt2\mid a,b\in \mathbb Q\}$ es$\mathbb Q(\sqrt2)$.

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Artem Russakovskii Puntos 7341

Puede responder su pregunta de seguimiento sobre$\mathbb{Q}(\sqrt3,i)$ pensando en cómo$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ difiere de$\mathbb{Q}$. La respuesta de Ittay debería brindarte una manera útil de pensar en estos problemas, al señalar que$(x^2-2)$ es irreductible en$\mathbb{Q}$. Ahora piense en$\mathbb{Q}(\sqrt3,i)$ extendiendo$\mathbb{Q}$ primero por$\sqrt3$, luego por$i$. ¿Son estas extensiones linealmente independientes?

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patterns Puntos 21

Recuerdo que luchan con esto hasta que he encontrado una referencia útil en el Cristal del Álgebra, 5ª edición (1904) donde nos muestra que cualquier cuadrática irracional expresión en $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ se reduce a la forma $a+b \sqrt{2}$. Creo que de todas las posibles operaciones válidas en $\mathbb{Q}$ junto con el elemento adicional de $\sqrt{2}$. En general, usted obtendrá un polinomio dividido por un polinomio (es decir, una función irracional) Chrystal, a continuación, se muestra esta expresión siempre puede ser reducido a la forma $a+b \sqrt{2}$.

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