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Factoring en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

¿Cómo sería un factor de un número, decir $9+4\sqrt{2}$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?

Esto es lo que he attemped a hacer: $$(a_1+b_1\sqrt{2})(a_2+b_2\sqrt{2}) $$ $$a_1a_2+a_1b_2\sqrt{2}+a_2b_1\sqrt{2}+2b_1b_2$$ Por lo tanto, \begin{eqnarray} a_1a_2+2b_1b_2&=&9 \\ a_1b_2+a_2b_1 &=& 4. \end{eqnarray}

Pero esto resulta en 4 variables y sólo 2 ecuaciones.

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notpeter Puntos 588

El punto es, por supuesto, que desea factor en números primos. La norma en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$$N(a+b\sqrt 2)=a^2-2b^2$, lo $N(9+4\sqrt 2)=49$ y sólo tiene que preocuparse acerca de los números primos de norma $\pm 7$. Así que, ¿cuándo $a^2-2b^2=\pm 7$ $a,b$ enteros? Bien, $(3,1)$ parece tentador, pero no funciona. Así que, simplemente, tomar el conjugado de a $3+\sqrt 2$, que debe ser en el otro primer dividiendo $7$. Y, de hecho, $(3-\sqrt 2)(5+3\sqrt 2)$ es el deseado de factorización. Nota: $3-\sqrt 2$ debe ser un asociado de $1+2\sqrt 2$, que apareció en el otro sugeridos de factorización.

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laerne Puntos 1

No todos los números se pueden tenerse en cuenta en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, también ha $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$-los números primos, como $3$ o $\sqrt{2}$. Además, otros números tienen muchas factorización. Por ejemplo, los números de $\mathbb{z}$ como $60$ que tienen, al menos, todos los $\mathbb{Z}$ como factorización, como $10\cdot6$ o $12\cdot5$. Así que no existe una solución única. Hay incluso podría ser no trivial de la solución.

Tiene dos $\mathbb{Z}$-grado de libertad demasiado. Intenta proceder cuidadosamente, y deducir el valor de dos variables a partir de los valores de los otros dos. Probablemente tenga que comprobar la existencia condición para evitar dividir por $0$, y dado que las ecuaciones cuadráticas, lo más probable es acabar con las raíces cuadradas. Así que, básicamente, estás en un problema de encontrar si algunas fórmulas pueden ser hechos para ser un entero de la plaza.

Nota al margen: Por ejemplo, si usted donde en $\mathbb{Z}$, básicamente la estamos tratando de resolver algo como $a \cdot b = 17$. No siempre es posible resolver la no-trivial y a veces hay muchas soluciones, como en $a \cdot b = 60$.

Observación: es posible Que desee hacer una descomposición en factores primos. En el que caso de tener que calcular el factor principal en primer lugar, y probablemente sería mejor preguntar otra pregunta.

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