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¿A qué será isomorfo el grupo subyacente de un campo?

Deje $(F,+,.) $ ser un campo finito con 9 elementos .,Deje $G=(F,+)$ $H=(F\setminus \{0\},.)$ el valor del subyacente aditiva y multiplicativa de los grupos .Thenwhat se $G$ $H$ ser isomorfo a:?

Sabemos que cualquier finito abelian grupo es un producto directo de grupo cíclico por lo tanto, $G$ es isomorfo a $\mathbb Z_9$ o $\mathbb Z_3\times \mathbb Z_3$ $H$ es isomorfo a $\mathbb Z_8$ o $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$.Desde un campo puede tener cero divisor theus $G$ estará isomorfo a $\mathbb Z_3\times \mathbb Z_3$

Pero no puedo concluir que lo que se $H$ isomorfo a ?Cualquier ayuda

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Bernard Puntos 34415

En realidad, cualquier subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo (ya sea que el campo sea finito o no) es cíclico. En el presente caso,$$\mathbf F_9^{\times}\simeq \mathbf Z/8\mathbf Z$ $

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lhf Puntos 83572

Aquí es elemental argumento de que no necesita la estructura teorema de abelian grupos:

Deje $n$ ser el exponente de $H$, es decir, el más pequeño de $n$ tal que $h^n=1$ todos los $h\in H$.

Por Lagrange del teorema, $n\le 8$.

Si $n<8$, entonces la ecuación de $x^n=1$ $8$ soluciones, y esto no puede suceder en un campo.

Por lo tanto, $n=8$.

Si todos los elementos tienen la orden menos de $8$, entonces el exponente es en la mayoría de las $4$, debido a los posibles órdenes son $1$, $2$, o $4$.

Dado que el exponente es $8$, $H$ entonces debe tener un elemento de orden $8$ $H$ es cíclico.

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