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Intuición geométrica detrás de La Conjetura de Mordell

La Conjetura de Mordell/Teorema de Faltings dice más o menos que si $K$ es un número algebraico de campo y de $X$ es una curva algebraica definida por más de $K$ de género $g >1$ entonces el conjunto de $K$-puntos racionales de $X(K)$ es finito.

Ahora, en los casos en que el género es de $g = 0$ o $g = 1$ podemos tener un número infinito de $K$-puntos racionales de la curva, pero luego Mordell la conjetura dice que cuando el género pasa a la siguiente de mayor valor $g \geq 2$, entonces esto ya no puede pasar y que sólo puede tener un número finito de $K$-puntos racionales acostado en la curva (si las hay).

La costumbre topológica de la interpretación que uno ve, mencionado en los libros que hablan de este género es que el número de agujeros en la superficie de $X(\mathbb{C})$. Así que me preguntaba si hay alguna manera de ver intuitivamente o por lo menos sin tener que recurrir a argumentos técnicos altamente utilizando el esquema de la teoría de por qué sucede esto?

Para ser más específicos, hay una manera de ver intuitivamente cómo el hecho de que la superficie de $X(\mathbb{C})$ tiene más de un agujero (cuando el género es mayor que uno) impide la correspondiente curva algebraica de tener un número infinito de $K$-puntos racionales?

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Nota: Si ayuda a facilitar las cosas al menos un poco, yo estaría más que feliz con un argumento para el caso cuando $K = \mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Soy consciente de que este es altamente técnica cosas así que tal vez estoy pidiendo demasiado, pero sería muy interesante si hay un argumento para esto así que no me puedo resistir a preguntar.

Muchas gracias de antemano por cualquier ayuda.

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Usted debe buscar en las respuestas a la MO pregunta vinculada a la anterior por Qiaochu. En cualquier caso, incluso más de $\mathbb Q$ no hay ninguna prueba simple de Mordell de la conjetura.

Aquí es una forma geométrica a pensar acerca de la conjetura, que no puede ser enfatizado en los enlaces de MO respuestas:

Una curva proyectiva más de $\mathbb Z$ admite un modelo proyectivo de más de $\mathbb Z$, y por el valuative criterio, a $\mathbb Q$valores de punto de este modelo es la misma cosa como $\mathbb Z$valores de punto. Esto nos lleva al problema más general de pensamiento alrededor de $\mathbb Z$-valores de los puntos de las curvas de más de $\mathbb Z$.

La razón por la que escribo "más general" es debido a que este problema ahora incluye afín curvas con coeficientes en $\mathbb Z$ (en el que caso de que $\mathbb Z$-valores de los puntos no son lo mismo que $\mathbb Q$-valores de los puntos, es mucho más restrictivo para un punto en el espacio afín a tener integral coordenadas que racional coordenadas).
En este caso se ha Siegel del teorema mencionado anteriormente por Arturo. Esto nos dice que en una afín a la curva de más de $\mathbb Z$ de género $ a> 0$ (y por género me refiero aquí al género de la projectivization) hay sólo un número finito de puntos racionales. Por supuesto, si $g > 1$ esto es más débil que el teorema de Faltings (que dice la misma cosa, incluso cuando pasamos a la projectivization), pero Siegel teorema fue antes, y que incluye el caso de una curva elíptica con el punto en el infinito eliminado. Tenga en cuenta que también se puede reemplazar $\mathbb Q$ por cualquier número de campo $K$ y $\mathbb Z$ por su anillo de enteros, de hecho o por cualquier localización del anillo de los enteros obtenidos por la inversión de un finito número de números primos, es decir, en cualquier anillo de $S$-enteros --- ver, por ejemplo, esta formulación de Siegel del teorema.

Este resultado a su vez está relacionado con el $S$-unidad teoremaque dice que si usted se considera afín a la curva de $\mathbb A^1 \setminus \{0,1\}$, sólo hay un número finito de $\mathcal O$valores de puntos siempre que $\mathcal O$ es el anillo de $S$-números enteros en cualquier campo de número. (Para entender esto, tenga en cuenta que el descripción de $\mathbb A^1\setminus \{0,1\}$ como afín curvas es el conjunto de $(x,y,z)$ tal que $xy = (x-1)z = 1$. Dando así una $S$-integral punto de $\mathbb A^1\setminus \{0,1\}$ es lo mismo que dar una $S$-unidad de $x$, de modo que $x-1$, o lo que es equivalente a $1-x$, es también una $S$-unidad, que a su vez es lo mismo que dar un par de $S$-unidades de la satisfacción de $u+v =1$; esta es la forma en $S$-unidad ecuación es generalmente formuladas.)

Qué hacer (afín o proyectiva) curvas de género $g > 1$, afín a las curvas de género $g = 1$, y la curva de $\mathbb A^1\setminus \{0,1\}$ (o, de hecho, $\mathbb P^1$ menos cualquier colección de al menos tres puntos) tienen en común? Todos ellos son hiperbólicos curvas.

Así que los geométricas básicas hecho subyacente de Mordell de la conjetura, Seigel del teorema, y la $S$-unidad teorema, es que hay sólo un número finito integral (o incluso $S$-integral, para un determinado anillo de $S$-enteros) puntos en una curva hiperbólica.

Hay una analogía (desarrollado en el trabajo de La mencionada por Arturo arriba) entre esta situación en la aritmética y de un determinado fenómeno, en el complejo de la teoría de la función:

Recordar Picard del teoremaque establece que un holomorphic función en $\mathbb C$ falta más de un valor es constante. Otra forma de pensar en esto es que se dice que un holomorphic función de $\mathbb C$ en $\mathbb A^1\setminus \{0,1\}$ es constante. Más en general, el mismo es cierto para holomorphic mapas de $\mathbb C$ en cualquier hiperbólico superficie de Riemann. (La prueba usual es que uno de los ascensores de un mapa en la universalización de la cobertura, para obtener un holomorphic mapa de $\mathbb C$ a la unidad de disco, la cual es constante y por Liouville.)

Para ser más preciso, entonces, que existe una analogía entre la integral de los puntos de las curvas hiperbólicas y holomorphic mapas de $\mathbb C$ a curvas hiperbólicas. Si desea ver esta analogía descrita en mayor detalle, puedes consultar algunas de las referencias en La obra.

La idea de que hiperbólico variedades no debe contener muchos integral de los puntos fue considerablemente ampliado por Lang, en analogía con los resultados correspondientes a en función compleja de la teoría.

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