En un triángulo equilátero, demuestre que$|BQ| + |PQ| + |CP| > 2l$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $ABC$ ser un triángulo equilátero con lado $l$.

Si $P$ $Q$ son puntos respectivamente en los lados $AB$$AC$, diferente de la del triángulo de vértices a, demostrar que $$|BQ| + |PQ| + |CP| > 2l$$

Puedo ver que, como punto de $P$ tiende a $A$, $|CP|+|PQ|$ tiende a $|AC|+|AQ|$. Si pudiera probarlo, el problema estaría resuelto (el resto se sigue de la desigualdad de triángulo).

Sin embargo no tengo ni idea de cómo hacerlo. Traté de jugar con el triángulo de la desigualdad y de las relaciones entre los lados y los ángulos, pero nada funcionó.

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Después de reflexionar ...

PS

Answer 2

Deje$AQ=x$,$AP=y$ y$l=1$.

Por lo tanto,$$PQ=\sqrt{x^2-xy+y^2},$ $$$PC=\sqrt{y^2-y+1}$ $ y$$BQ=\sqrt{x^2-x+1}$ $ y debemos demostrar que$$\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{y^2-y+1}\geq2.$ $ ahora, por Minkowwski$$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}+\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\geq$ $$$\geq\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{(x+y-1)^2+3}$ $ y $$\sqrt{x^2-xy+y^2}\geq\frac{x+y}{2}.$ $ Let$x+y=2a$.

Por lo tanto,$a\leq1$ y debemos demostrar que$$a+\sqrt{(2a-1)^2+3}\geq2$ $ o$$\sqrt{4a^2-4a+4}\geq2-a$ $ o$$4a^2-4a+4\geq a^2-4a+4,$ $ que es obvio.

¡Hecho!

Por mi solución fácil hacer una prueba geométrica.

Answer 3

Esta no es una respuesta, más bien es un enfoque sugerido para el problema. Aquí está una Geogebra (enlace)diagrama:

Si usted va a la Geogebra enlace puedes mover los puntos de $P$$Q$.

El problema se reduce a demostrar que $|DI|>|IQ|$.

Nota de la construcción que $|PQ|=|DQ|$ $|CP|=|BG|=|BF|$ y $2l=|IH|$.

Por lo tanto

$$ |PQ|+|BQ|+|CP|=|DQ|+|QB|+|BF|=|DF| $$

Así, para establecer el resultado debe ser demostrado que

$$ |DI|>|FH|=|IQ| $$

Answer 4

Consulte la gráfica (usando un teléfono inteligente, dibujará en la PC más adelante) a continuación: