¿Qué significa la altura relativa a la hipotenusa?

Question

Tengo que resolver el siguiente problema:

Dados H (altura relativa a la hipotenusa) y R (radio de la circunferencia inscrita en el triángulo) de un triángulo rectángulo, ¿puedes calcular el valor de sus ángulos interiores a partir de la relación H/R?

Pero no entiendo qué significa "altura relativa a la hipotenusa".

Fuente del problema: http://coj.uci.cu/24h/problem.xhtml?abb=1335

Answer 1

En primer lugar, la altura relativa a la hipotenusa significa la altura que es perependicular a la hipotenusa y pasa por el vértice del ángulo recto.

Ahora el problema. Como el triángulo es recto podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Así que tenemos:

$$a^2 + b^2 = c^2$$ $$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$$

Sabemos que $$Hc = ab$$ así que hacemos una sustitución:

$$(a+b)^2 = c^2 + 2cH$$ $$a + b = \sqrt{c^2 + 2cH}$$

Nótese que sólo nos interesa el valor positivo de la raíz cuadrada, porque $a$ y $b$ tienen una longitud positiva. Ahora subtitule en su ecuación para $\frac{H}{R}$ . Así que tenemos:

$$\frac HR = \frac{a+b+c}{c}$$ $$\frac HR = \frac{\sqrt{c^2 + 2cH} + c}{c}$$

Después de alguna transformación algebraica terminaremos con:

$$c = \frac{2R^2}{H-2R}$$

Porque $H$ y $R$ son valores conocidos, podemos obtener fácilmente c.

Ahora dejemos que la base de la altitita $H$ dividir el lado $c$ en dos segmentos $p$ y $q$ .

Lo sabemos:

$$p+q = c \quad \quad \text{ and } \quad \quad pq = H^2$$

Así que la longitud de $p$ y $q$ son en realidad las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática. Esto se deduce de la fórmula de Vieta.

$$x^2 - cx + H^2 = 0$$

Ahora podemos encontrar el lado del triángulo rectángulo tras aplicar el Teorema de Pitágoras:

$$a = \sqrt{q^2 + H^2}$$ $$b = \sqrt{p^2 + H^2}$$

Y por último deja que $\alpha$ sea el ángulo opuesto al lado $a$ y $\beta$ el ángulo opuesto al lado b. Entonces tenemos:

$$\alpha = sin^{-1} \frac ac$$ $$\beta = sin^{-1} \frac bc$$