4 votos

Límite de búsqueda de$\lim\limits_{h\to 0} \frac1{h}\left(\frac1{\sqrt{x+h-2}}-\frac1{\sqrt{x-2}}\right)$

Como es de esperar, si introduce 0 en la ecuación inicial, la respuesta es indefinida o indeterminada. Intenté multiplicar el conjugado$\frac1{\sqrt{x+h-2}}+\frac1{\sqrt{x-2}}$ al numerador y el denominador, pero no pude simplificar esta ecuación lo suficiente para evitar el valor indeterminado.

PS

4voto

Saeed Neamati Puntos 157

PS

PS

Ahora cancele el$$\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{x+h-2}-\dfrac{1}{x-2}}{h\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+h-2}}+\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\right)}$ y sustituya$$ =\lim_{h\to 0} \dfrac{\dfrac{-h}{(x-2)(x+h-2)}}{h\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+h-2}}+\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\right)}$ por h

PS

He mostrado cómo "simplificar" multiplicando el conjugado. Aunque sería más rápido si sigues el consejo de Rahul.

3voto

Dan Walker Puntos 3466

Una evaluación alternativa. Dejar $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$. Luego, por definición de$f'(x)$ $$ \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {1} {h} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {x + h-2}} - \ frac {1} {\ sqrt {x-2}} \ right) = f ^ {\ prime} (x), $$

que es $$ \begin{eqnarray*} f^{\prime }(x) &=&\left( \frac{1}{\sqrt{x-2}}\right) ^{\prime }=\left( \sqrt{ x-2}^{-1}\right) ^{\prime } \\ &=&-1\times \left( \sqrt{x-2}\right) ^{-2}\times \left( \sqrt{x-2}\right) ^{\prime }=-\frac{1}{x-2}\times \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \\ &=&-\frac{1}{2\left( x-2\right) ^{\frac{3}{2}}}. \end {eqnarray *} $$

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