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¿Por qué racionalizar el denominador?

En la escuela primaria aprendemos a racionalizar los denominadores de las fracciones cuando es posible. Se nos enseña que $ \frac { \sqrt {2}}{2}$ es más simple que $ \frac {1}{ \sqrt {2}}$ . Una respuesta en este sitio dice que "hay un sesgo contra las raíces en el denominador de una fracción". Pero tales fracciones están bien definidas y no veo nada malo en $ \frac {1}{ \sqrt {2}}$ - de hecho, la OMI es más simple que $ \frac { \sqrt {2}}{2}$ porque 1 es más simple que 2 (o similarmente, porque el primero puede ser trivialmente reescrito sin una fracción).

Entonces, ¿por qué existe este sesgo contra las raíces en el denominador y cuál es su justificación? La única razón que se me ocurre es que el sesgo es una reliquia de una época anterior a que los reales se entendieran lo suficientemente bien como para que los matemáticos se sintieran cómodos dividiendo por los irracionales, pero no he podido encontrar una fuente que corrobore o contradiga esta suposición.

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Lissome Puntos 31

Esto era muy importante antes de los ordenadores en los problemas en los que había que hacer algo más después de calcular una respuesta.

Un ejemplo sencillo es el siguiente: Cuando se calcula el ángulo entre dos vectores, a menudo se obtiene una fracción que contiene raíces. Para reconocer el ángulo, siempre que sea posible, es bueno tener una forma estándar para estas fracciones [nota al margen, he visto a menudo que los estudiantes no son capaces de encontrar el ángulo $\theta$ para que $\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ]. La manera más sencilla de definir una forma estándar es haciendo que el denominador o el numerador sean enteros.

Si te preguntas por qué el denominador es la opción, es la opción natural: Como ya he dicho, a menudo hay que hacer cálculos con fracciones. Lo que es más fácil de sumar: $$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \, \mbox{ or }\, \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \,?$$

Ten en cuenta que llevar las fracciones al mismo denominador suele ser más fácil si el denominador es un número entero. Y tenga en cuenta que en muchos problemas se empieza con cantidades que deben ser sustituidas por fracciones en forma estándar [por ejemplo, en trigonometría, los problemas se plantean en términos de Tenga en cuenta que llevar las fracciones al mismo denominador suele ser más fácil si el denominador es un número entero. Y tenga en cuenta que en muchos problemas se parte de cuanNtoitees twhhaitc hb rnienegdi ntgo fbrea crteipolnasc etdo btyh ef rsaacmtNeio otdnees n toihmnai tns atbtaronirdn agirisdn guf sofurramal cl[tyfi ooerna sse ixteaorm ptilhfee tishnae m tedr eidngeoonmnoiomnmiaenttaortryo , ri spi rsao nbu lsieunmatsle lgayer ree. a ssAeinted r i knie fet pet rhimens dmoeifnn odm itnhaatto ri ni sm aanny ipnrtoebgleerm. s Aynodu kseteapr ti nw imtihn dq utahnatti tiine sm awnhyi cphr onbeleedm st oy obue srteaprlta cweidt hb yq ufarnatcittiioenss wihni csht annedeadr dt ofbrem r[efpolra ceexda mbpyl ef rianc ttiroingso nionm esttrayn, d aprrdo bfloermms [afroer seexta mipnl et eirnm st roifg onometry, los problemas se plantean en términos de $\cos(\theta)$ donde $\theta$ es algún ángulo].

Pero, al fin y al cabo, no es más que una convención. Y aunque usted piense que $\frac{1}{\sqrt{2}}$ parece más simple, y tienes razón, la clave con las convenciones es que tienen que ser consistente para los casos en los que necesite reconocimiento. La que parece más sencilla suele ser la relativa... ppaarraa llaass ccaass eenn llaass ccaassaass qquuee ssee rreeccoogniiddaaddeess... Llaa oonneess ccoonn llaa ccoonnttrraacciióónn eenn llaa ssiimmpplleerr eess oofftteenn rreellaattiivvee...... para los casos en los que se necesita el reconocimiento. La que parece más sencilla suele ser relativa...

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N. F. Taussig Puntos 8718

La razón histórica para racionalizar el denominador es que antes de que se inventaran las calculadoras, las raíces cuadradas tenían que aproximarse a mano.

Para aproximarse $\sqrt{n}$ , donde $n \in \mathbb{N}$ Los antiguos babilonios utilizaban el siguiente método:

  1. Haz una conjetura inicial, $x_0$ .

  2. Dejemos que $$x_{k + 1} = \frac{x_k + \dfrac{n}{x_k}}{2}$$

Si se utiliza este método, que equivale a aplicar el método de Newton a la función $f(x) = x^2 - n$ para aproximar la raíz cuadrada de $2$ a mano con $x_0 = 3/2$ se verá que, aunque la secuencia converge rápidamente, los cálculos se vuelven onerosos después de algunos pasos. Sin embargo, una vez conocida la aproximación, es fácil calcular $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ rápidamente racionalizando el denominador para obtener $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ entonces dividiendo la aproximación por $2$ .

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MJD Puntos 37705

Puede que se me haya pasado, pero hay una razón importante que creo que se ha omitido en las otras respuestas. (Ahaan Rungta lo mencionó, pero no lo explicó en detalle).

Recuerde que algo como $\frac3{17}$ se calculó antes de alrededor de 1964:

$$\require{enclose} \begin{array}{rl} 17&\enclose{longdiv}{3.000\ldots} \end{array}$$

$$\begin{array}{rlll} & \ \ \ \,0.1\\ 17&\enclose{longdiv}{3.000\ldots} \\ & \ \ 1.7 \\ \hline & \ \ 1\ 3 \end{array}$$

$$\begin{array}{rlll} & \ \ \ \,0.17\\ 17&\enclose{longdiv}{3.000\ldots} \\ & \ \ 1.7 \\ \hline & \ \ 1\ 30 \\ & \ \ 1\ 19 \\ \hline & \ \ \ \ \ 11 \end{array}$$

Y así sucesivamente. La dificultad de los cálculos depende únicamente de la complejidad de la divisor que es 17. Para extraer un resultado con cualquier grado de precisión requerido sólo hay que continuar el cálculo hasta que se haya emitido el número de dígitos requerido. Pero las operaciones mismas están determinadas por el divisor.

Ahora tomemos $\frac3{\sqrt2}$ como ejemplo. Para calcularlo directamente tenemos que evaluar:

$$1.4142\ldots \enclose{longdiv}{3.000\ldots} $$

que es bastante oneroso. Utilizar un valor exacto para el divisor es imposible debido a la forma en que funciona el algoritmo, por lo que hay que truncar el divisor. No está claro cuánto error introducirá este truncamiento. Y si se redondea el divisor a $n$ dígitos de precisión, debe realizar muchas multiplicaciones y sustracciones de $n$ -números de un dígito.

En cambio, el cálculo de $\frac{3\sqrt2}2$ es mucho más fácil. Primero calcule $3\times \sqrt2$ con una sola multiplicación, para obtener $4.242640\ldots$ . (Si necesitas más dígitos más adelante, puedes producirlos fácilmente cuando los necesites).

A continuación, realiza la siguiente división:

$$2 \enclose{longdiv}{4.242640\ldots} $$

que sólo requiere cálculos enteros triviales en todo momento.

18voto

Ahaan S. Rungta Puntos 6129

La razón principal por la que supongo que nuestra cultura de profesores de matemáticas nos dice que hay que racionalizar el denominador es para que haya una nomenclatura universal entre los estudiantes sobre lo que es un estándar de significa. En la escuela, los profesores tienen un montón de respuestas que comprobar, así que si tienen que seguir viendo cosas como $\frac{1}{\sqrt{3}}$ , $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $\sqrt{\frac{1}{3}}$ (sólo como un ejemplo muy simple) flotando, ralentiza la comprobación ligeramente y es, también, hasta cierto punto, molesto.

Algo histórico: antes de las calculadoras, había que hacer las cosas a mano (duh). En este escenario, dividir $1$ por $\sqrt{3}$ es mucho más difícil que dividir $\sqrt{3}$ por $3$ Así que racionalizar el denominador (en lugar de racionalizar el numerador) parece lógico.

9voto

user3680510 Puntos 121

La suma de dos fracciones con denominadores irracionales se parece a una raíz menor.

Ver

$ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}} $

vs

$ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6} $

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