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Cómo dejar de olvidar pruebas para un primer curso de Análisis Real?

Estoy tomando mi primer curso en el análisis. Me gusta el tema. Yo estudio casi a diario. Trato de demostrar teoremas por mi cuenta, sin mirar siquiera las sugerencias. Si realmente me quedas atascado acabo de leer la primera línea de la prueba y, a continuación, intente seguir mi camino. Me parece que este enfoque a ser muy gratificante. El problema es que tiendo a olvidar todas las pruebas posteriores. Algunos todavía recuerdo porque me gustó la idea de la prueba, pero la mayoría de los otros que se olvidan rápido. ¿Qué estoy haciendo mal? Cualquier consejos sobre cómo estudiar en el análisis?

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Johanna Puntos 4297

No trate de memorizar las pruebas: tratar de memorizar los métodos que se utilizan en la mayoría de los análisis de las pruebas. De esa manera usted sólo tiene que memorizar un puñado de métodos en lugar de 30-50 pruebas, y se puede adaptar a probar cosas que nunca antes había visto así.

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DinGODzilla Puntos 493

Una cosa que me funciona cuando el aprendizaje de un teorema es ir a través de todas las condiciones y encontrar correspondiente contra-ejemplos, así como ver exactamente donde la prueba falla. Tome por ejemplo el teorema de Rolle:

Si el valor real de la función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que $$f'(c) = 0.$$

Encontrar una función que es continua en $[a,b]$, pero que no es derivable en $(a,b)$, y para que la declaración no se sostiene. Trabajo a través de la prueba de uso de este contra-ejemplo, y las de bits cuando la prueba falla. A continuación, encontrar una función es derivable en $(a,b)$, pero que no es continua en $[a,b]$, y hacer lo mismo.

Asegúrese de que usted puede encontrar ejemplos tan fuerte como sea posible - como asegurarse de que usted puede encontrar una función que es diferenciable en todas partes en $(a,b)$ pero un solo punto. Asegúrese también de que ellos son tan general como sea posible - dado cualquier punto en $(a,b)$, se puede encontrar una función que no es diferenciable en ese punto, y para que la declaración del teorema no es cierto? Usted va a comenzar a ir desde específico, concreto contraejemplos, a los 'esquemas' o formas de generación de las familias, esperemos exhaustiva de las familias de contraejemplos. (Esto es a menudo la forma contraejemplos se expresan en los más avanzados de matemáticas de la literatura.)

Usted debe hacer esto para cada una de las condiciones del teorema. El contraejemplo que $f(a) \neq f(b)$ podría parecer obvio, pero usted todavía necesita entender exactamente donde el teorema de los descansos.

Al estudiar varios dependiente de teoremas y lemas, usted comenzará a ver cómo se enclavamiento a través de estas condiciones y contraejemplos. Por lo que el Valor medio Teorema tiene las mismas condiciones que el teorema de Rolle, ya que se usa teorema de Rolle para demostrar el MVT. Pero la función a la que podemos aplicar el teorema de Rolle no es la misma función que nos están demostrando el MVT para, entonces, ¿cómo podemos estar seguros de que las mismas condiciones para ambos? Hay un montón de pares de teoremas en los que uno tiene estrictamente una condición más fuerte y estrictamente una declaración más fuerte - usted puede comparar estos para ver el equilibrio entre los dos.

Al hacer el cálculo, las funciones, los intervalos, las variables son los objetos que están aprendiendo acerca y el que aprender a manipular en los ejercicios hasta que se familiarice con la forma en que trabajo. En el análisis de las pruebas, los lemas, teoremas, condiciones y declaraciones de cosas son las que trabajan con usted. Usted necesita aprender a manipular y entender estos en lugar de simplemente formar una imagen mental de funciones, series, etc. - las cosas que son aparentemente "acerca de".

Usted también puede encontrar que muchos de los contraejemplos para el análisis de los teoremas son muy interesantes objetos en su propio derecho, por ejemplo el medio tercios conjunto de Cantor, el Cantor de la escalera, el indicador de la función de los racionales, etc.

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Philip Oakley Puntos 411

Si usted acaba de recordar individuales de las pruebas, y colocarlos en un círculo en su bloc de notas, usted se dará cuenta que es de $2\pi r$ ir alrededor y recordar todas las pruebas, pero si se comienza en el centro (lo básico) y aprender los métodos es sólo $1\cdot r$ a cualquier prueba.

Es mucho más fácil si usted aprende los fundamentos y el 'cómo paso', en lugar de pruebas y funciona en todas las ciencias / matemáticas basadas en los sujetos ;-)

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123 Puntos 1051

No memorizar las pruebas. Acaba de sentirse cómodo con la forma de pensar sobre ciertas pruebas y el marco básico de la prueba de ciertas ideas. Es decir, no es necesario memorizar cómo probar que $x^3$ es continua en $a=-1$, pero usted necesita estar familiarizado con la forma de probar la continuidad como una propiedad global y probar la continuidad en un punto.

Esta forma de pensar me ayudó a través de la prueba de los cursos. Me he centrado en el proceso de aprendizaje de los tipos de pruebas y cómo pensar acerca de las pruebas en general, más que el aprendizaje de una determinada prueba.

4voto

Anubhav.K Puntos 1982

Espero que usted ya tiene un montón de buenos asesora...un poco de asesoramiento de mí es que en algún momento de tratar de entender la geometría detrás de esas definiciones como conjunto cerrado conectado continua de la función y de todos...porque ya sabes que es una hermosa estructura geométrica más de R, así como $ R^n$ así que si te las arreglas para relacionar estas definiciones abstractas con la existencia de nociones geométricas, a continuación, puede visualizar todos los productos alimenticios y, por consiguiente, que se puede ver por qué los teoremas son correctos y la escritura es sólo una habilidad para representar la geometría de la vista en el plazo de lenguaje matemático preciso. y, por supuesto, de resolución de problema de actitud...que le ayudará a entender las cosas de una manera más profunda.

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