Un triángulo equilátero está dividido por tres líneas rectas en siete regiones cuyas áreas se muestran en la imagen a continuación. Encuentra el área del triángulo. 
¿Cómo resolver este problema?
Entonces $x=2$ y el área del triángulo es $84$.
Respuestas
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Mike
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Por simetría, el triángulo interno es equilátero. Entonces, el triángulo marcado con área $4$ es similar a uno con área $28$ (en el lado más pequeño de una ceviana), por lo que la proporción de similitud es $7$.
Luego podemos aplicar Menelao a uno de los triángulos compuestos por el triángulo equilátero interno, dos triángulos de área $20$ y un triángulo pequeño de área $4$. La transversal es una ceviana. Si dejamos que la parte más pequeña de un lado sea $1$ unidad arbitraria y la más grande sea $x$, obtenemos
$$\frac{x}{1}\frac{1+x}{1}\frac{1}{6} = 1.$$
Ahora podemos resolver para $x$ y encontrar la proporción en la que la ceviana corta el lado, lo que nos da la proporción de áreas de los dos triángulos en los que la ceviana corta el triángulo, y por lo tanto el área del triángulo pequeño.
Sea el triángulo grande $ABC$, el central $DEF$ y los puntos restantes sean $P,Q,R$, de modo que tengamos las líneas $ADEP$, $BEFQ$, y $CFDR$. Sea $x$ el área de $\triangle DEF$.
Entonces $$AE:AP = \triangle ABE : \triangle ABP = (4+20):(4+20+4)=6:7$$ y $$AQ:AC = \triangle ABQ:\triangle ABC = (20+4+20+x):(4+20+4+20+4+20+x)=(44+x):(72+x).$$ Por lo tanto $$ (6\cdot(44+x)):(7\cdot(72+x))=\triangle AEQ:\triangle APC = (20+x):(20+4+20+x)$$ Esto debería darte una ecuación cuadrática en $x$ con una única solución positiva.
Lai
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1
[](https://i.sstatic.net/wF7LX.jpg)
Dejemos que el área del triángulo equilátero sea $A$ y dividamos el cuadrilátero con área 20 en 2 triángulos con área $x$ y $20-x$ respectivamente.
Usaremos la propiedad básica del triángulo,
$$A:B=a:b$$
Por simetría, obtenemos
$$ \frac{28}{44+A}\stackrel{(1)}{=} \frac{4}{20-x} \stackrel{(2)}{=}\frac{4+x}{20+A} $$
Simplificando (1) obtenemos
$$ 4 A=400-28 x \cdots (3) $$ Simplificando (2) obtenemos $$ x^{2}-16 x=4 A \cdots (4)$$
Combinando (3) y (4) obtenemos $$ \begin{array}{l} x^{2}+12 x-400=0 \\ x=2(11- \sqrt{21}) \end{array} $$ Sustituyendo de nuevo en (3) obtenemos $$ \begin{aligned} A &=14 \sqrt{21}-54 \end{aligned} $$
