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Ruta integral de la solución a la ecuación del calor

Deje $(M,g)$ ser un equipo compacto de Riemann colector. A continuación, la solución de $u:M\times [0,\infty)\to \mathbb{R}$ de la ecuación del calor $\partial_t u=\Delta_gu$ partir de $u_0\in C^{\infty}(M)$ está dado por la ruta integral $$ u(x,t)=\int_{\gamma \en H_x} e^{-E(\gamma)/4t}u_0(\gamma(1))d\gamma, $$ donde la integral se toma durante el clásico espacio de Wiener $H_x\subset L^{2,1}([0,1],M)$ de energía finita rutas de $\gamma:[0,1]\to M$ partir de $x$ (es decir, $\gamma(0)=x$). También, aquí $$ E(\gamma)=\int_0^1\Big|\frac{d\gamma}{ds}\Big|^2ds $$ es la de Dirichlet de la energía de una curva en $(M,g)$ y la medida de la integración es la medida de Wiener. Consulte este artículo para una encuesta de la anterior.

Pregunta: ¿la ruta de arriba integral fórmula para $u$ pulsado durante más general de las ecuaciones en derivadas parciales parabólicas?

Más precisamente, vamos a $L:C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$ ser una de segundo orden elíptica operador (por ejemplo, por encima tomamos $L=\Delta_g$).

Entonces podemos escribir la solución $u:M\times [0,T)\to \mathbb{R}$ de la parabólica de la PDE $$ \partial_tu=Lu $$ con condición inicial $u_0\in C^{\infty}(M)$ como la ruta integral $$ u(x,t)=\int_{\gamma \en H_x} e^{-S(\gamma)/4t}u_0(\gamma(1))D\gamma, $$ para algunos funcional $S:H_x\to \mathbb{R}$ en la ruta de acceso al espacio? ¿Qué es $S$ en este caso? Tenga en cuenta que $S=E$ cuando $L=\Delta$.

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hypernova Puntos 171

No estoy seguro de si este es tu punto de vista, pero la ruta integral que usted ha mencionado es, al menos para mí, como si se refiere a ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) y la ecuación de Fokker-Planck.

Para ayudar a explicar el mecanismo detrás de la ecuación de Fokker-Planck, partamos de un ingenuo ejemplo. Para la ecuación del calor en 1-D el espacio Euclidiano $\mathbb{R}$, considere el siguiente movimiento Browniano $$ {\rm d}X_t=\sigma\,{\rm d}W_t, $$ donde la constante $\sigma$ denota la difusividad térmica, el proceso estocástico $W_t$ significa que el proceso de Wiener. Aquí $X_t$ es también un proceso estocástico, el seguimiento de la posición de una partícula Browniana esté en tiempo de $t$. Además, denotan por $u(t,x)$ la función de densidad de probabilidad (PDF) de $X_t$, es decir, $$ \int_{-\infty}^xu(t,y)\,{\rm d}y=\mathbb{P}(X_t\le x). $$ Esperamos encontrar una ecuación diferencial que gobierna $u=u(t,x)$.

Definir $$ f(x)=e^{-2\pi i\xi x}. $$ Entonces $$ \mathbb{E}f(X_t)=\int_{\mathbb{R}}e^{-2\pi i\xi x}u(t,x)\,{\rm d}x=\hat{u}(t,\xi) $$ es la transformada de Fourier de la PDF. Esto se conoce como la función característica de la probabilidad. Para encontrar un consejo de la ecuación de $u$, es suficiente para encontrar que para $\hat{u}$.

Por Ito de la fórmula, tenemos \begin{align} {\rm d}f(X_t)&=f'(X_t)\,{\rm d}X_t+\frac{1}{2}f''(X_t)\,{\rm d}\left<X\right>_t\\ &=-2\pi^2\xi^2\sigma^2f(X_t)\,{\rm d}t-2\pi i\xi\sigma f(X_t)\,{\rm d}W_t, \end{align} donde $\left<X\right>_t$ denota el proceso de variación cuadrática de $X_t$, que, por el SDE se indicó anteriormente, se lee $$ {\rm d}\left<X\right>_t=\sigma^2\,{\rm d}t. $$ A partir de este resultado, obtenemos $$ f(X_t)=f(X_0)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}s-2\pi i\xi\sigma\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}W_s. $$ Tenga en cuenta que la última integral es un martingle (ver aquí ), para que $$ \mathbb{E}\left(\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}W_s\right)=0. $$ Gracias a este resultado, teniendo la expectativa en ambos lados de los rendimientos \begin{align} \mathbb{E}f(X_t)&=\mathbb{E}f(X_0)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\mathbb{E}\left(\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}s\right)\\ &=\mathbb{E}f(X_0)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\int_0^t\mathbb{E}f(X_s)\,{\rm d}s, \end{align} o el uso de $\mathbb{E}f(X_t)=\hat{u}(t,\xi)$, $$ \hat{u}(t,\xi)=\hat{u}(0,\xi)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\int_0^t\hat{u}(s,\xi)\,{\rm d s}, $$ lo que es equivalente al diferencial de la forma $$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\hat{u}(t,\xi)=-2\pi^2\xi^2\sigma^2\hat{u}(t,\xi), $$ cuya inversa de Fourier da $$ \frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x). $$

En resumen, la solución de una ecuación del calor puede ser interpretado como la densidad de probabilidad de algunos procesos estocásticos.

Este concepto se puede generalizar a la general Ito proceso, un tipo especial de procesos estocásticos que se rigen por $$ {\rm d}X_t=\mu(t,X_t)\,{\rm d}t+\sigma(t,X_t)\,{\rm d}W_t, $$ donde $\mu$ e $\sigma$ son tanto precargado funciones. Repita el procedimiento anterior para la derivación con otras técnicas tales como $$ \mathbb{E}\left(f(X_t)\,\mu(t,X_t)\right)=\int_{\mathbb{R}}e^{-2\pi i\xi x}\mu(t,x), u(t,x)\,{\rm d}x=\widehat{\left(\mu\,u\right)}(t,\xi), $$ uno puede terminar con el general de la 1-D de la ecuación de Fokker-Planck $$ \frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\mu(t,x)\,u(t,x)\right)+\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\sigma^2(t,x)\,u(t,x)\right). $$ Uno también puede generalizar este 1-D de la ecuación de a $n$-D de los casos mediante el empleo de una $n$-dimensiones SDE sistema, como se indica en esta página. Tan lejos como yo lo veo, también es posible generalizar este Euclidiana-espacio de resultado a diferenciable colectores, pero me temo que va más allá de mi conocimiento.

Espero que esta explicación podría ser algo útil para su.

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