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Demuestra que tres vectores son coplanarios

Se dan tres vectores: $u,v,w$ . Se da que: $|u|=|v|=|w|= \sqrt{2}$ ; $u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=-1$ . Demostrar que los vectores $u,v,w$ son coplanares (en el mismo plano).

Tengo algunas ideas, pero no sé si son útiles en este caso:

Sé que tres vectores son coplanares si $u\cdot(v x w)=0$ . Además, supongo que se puede demostrar con la dependencia lineal, pero no sé cómo usarla aquí.

Además, pensé que tal vez el ángulo entre los vectores puede ser de ayuda $120$ grados entre cada $2$ vectores- pero ¿significa eso necesariamente que están en el mismo plano- coplanar?

9voto

qwertz Puntos 16

La suma de tres ángulos formados por tres vectores no coplanares es siempre menor que 360 grados. Sin embargo, en lugar de demostrar esta afirmación general se puede llegar al resultado requerido inmediatamente, observando que los vectores del problema forman un triángulo equilátero. Una comprobación sencilla lo demuestra:

$$(u+v+w)\cdot(u+v+w)=|u|^2+|v|^2+|w|^2+2u\cdot v+2v\cdot w+2w\cdot u=0\\ \implies u+v+w=0.$$

Como los tres vectores son linealmente dependientes, son coplanarios.

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¿Por qué pensaste en sumar los vectores entre sí en primer lugar? ¿Por qué "u+v+w=0" significa que son coplanares? ¿Escribiste que son linealmente dependientes porque 1u+1v+1w=0, los coeficientes no son todos 0?

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¡Muy buena respuesta!

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@noamAzulay No es difícil darse cuenta de que los vectores forman triángulo equilátero. Los vectores no coplanares son linealmente independientes y por tanto no pueden sumar 0. Y tienes razón $1\ne0$ sin duda alguna.

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