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¿Puede ser negativa la raíz cuadrada de un número real?

¿Puede ser negativa la raíz cuadrada de un número real?

Al tratar las cuestiones de las funciones en la undécima clase, mi profesor de matemáticas dice que la raíz cuadrada de un número real es siempre positiva. ¿Cómo es posible?

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Todo número positivo $a$ tiene dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$ . Así que la gente generalmente escribe $\sqrt a$ para denotar la solución positiva. Por tanto, siempre es positiva, pero por convención o definición, no por ningún razonamiento matemático.

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@StephenMontgomery-Smith - No estoy de acuerdo. La raíz cuadrada de un número tiene para ser positivo, o terminas con $a = \sqrt{b} = -a \implies 1= \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$ . Eso crearía un matemáticas contradicción, no sólo un problema de convención.

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@Ephraim Pero entonces no significaría que tanto las raíces de $x^2=4$ son iguales, $2$ ?

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Khushi Puntos 1266

Dado un número real positivo $a$ hay dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$ uno es positivo y el otro negativo. Denotamos la raíz positiva (que solemos llamar raíz cuadrada) por $\sqrt{a}$ . La solución negativa de $x^2 = a$ es $-\sqrt{a}$ (sabemos que si $x$ satisface $x^2 = a$ entonces $(-x)^2 = x^2 = a$ Por lo tanto, porque $\sqrt{a}$ es una solución, también lo es $-\sqrt{a}$ ). Así, para $a > 0$ , $\sqrt{a} > 0$ pero hay dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$ , uno positivo ( $\sqrt{a}$ ) y una negativa ( $-\sqrt{a}$ ). Para $a = 0$ las dos soluciones coinciden con $\sqrt{0} = 0$ .

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¿Podría la persona que ha votado en contra explicar por qué?

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Mi opinión es que no lo haría. Buena respuesta.

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@AndreNicolas: Valía la pena intentarlo. Gracias por tus comentarios.

7voto

Richard Gayle Puntos 41

Se trata de una simple cuestión de anotación. Por convención, para los positivos $x$ (muy claramente), $\sqrt{x}$ denota el positivo raíz cuadrada del número real $x$ . Asimismo, acordamos por convención notacional que $-\sqrt{x}$ es la raíz cuadrada negativa de $x$ . Por supuesto, todo número real positivo, $x$ tiene dos raíces cuadradas, $\sqrt{x}$ y $-\sqrt{x}$ , números reales positivos y negativos respectivamente.

A veces me preocupa lo que se enseña a modo de matemáticas en la escuela secundaria hoy en día.

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Sólo quiero aclarar que $-\sqrt{x}$ no es negativo por otra convención . Es negativo porque $\sqrt{x}$ es positivo (y la negación de un valor positivo es negativa). La aparente magia de $\pm\sqrt{x}$ etc. había confundido largo pero con la única definición que $\sqrt{x}$ es positivo, el resto fluye utilizando las reglas ordinarias de la notación aritmética: $-\sqrt{x}$ es negativo, $\pm\sqrt{x}$ se refiere tanto a los valores positivos como a los negativos.

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Tim Abell Puntos 2301

Creo que tu confusión viene de asumir que si $a^2 = b$ entonces $\sqrt{b} =a$ pero en realidad no es así. La forma correcta sería $\sqrt{b} = \vert a \vert$ . Por eso, $a^2 = b = (-a)^2$ Sin embargo, $\sqrt{b} = \vert a \vert \neq -\vert a \vert$ . Esto se puede demostrar por contradicción:

Si dijéramos que $a=\sqrt{b}=-a$ Por lo tanto, eso implicaría que $a = -a$ y, por ejemplo $1= \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$ que sabemos que es falso. Esta contradicción no aparece al decir $a^2 = b = (-a)^2 \implies a^2 = (-a)^2$ porque, si utilizáramos el mismo ejemplo, obtendríamos $1^2 = 1 = (-1)^2 \implies 1^2 = (-1)^2 \implies 1 = 1$ lo cual es cierto (ya que por definición Cualquier número al cuadrado debe ser positivo). Por eso, si se evalúa $a^2 = b$ , usted obtendría dos posible solución para $a$ (uno positivo y otro negativo). Sin embargo, si se evalúa la ecuación $a = \sqrt{b}$ , $a$ sólo puede tener una solución en un momento dado, y por convención, se definió que la raíz cuadrada siempre es positiva. Esta es una distinción importante porque nos permite ver la ecuación $4=a^2$ y encontrar que $a=2\oplus a=-2$ evitando así la contradicción $a=2 \wedge a=-2 \implies 2=-2$ diciendo $2^2=4=2^2 \implies 2 = 2 \oplus (-2)^2=4=(-2)^2 \implies -2=-2$ . Esta idea puede parecer que se pierde al graficar ecuaciones como la del círculo. La ecuación $x^2 + y^2 = 1$ parece tener 2 $y$ valores para cada $x$ y 2 $x$ valores para cada $y$ . Esto puede entenderse mejor si se observa la ecuación paramétrica de un círculo: $x=cos(t); y=sin(t)$ . Para cualquier valor de $t$ sólo hay un valor correspondiente de $x$ y sólo un valor correspondiente de $y$ . Si se le da un valor para $x$ y se le dijo que resolviera para $t$ lo máximo que puedes hacer es encontrar posibilidades de $t$ Desde que el $(x,y)$ los puntos del gráfico se repiten cada $2\pi*t$ . La misma idea es válida para las raíces cuadradas. Cuando se eleva un número al cuadrado, siempre se crea un número positivo, por lo que es imposible invertirlo definitivamente. Lo máximo que podemos hacer es decir que hay dos posibilidades de lo que era el número original. Por convención, se ha establecido que para una ecuación $a^2 = b$ , donde $\sqrt{b}=c$ decimos que $c=\vert a \vert$ . También funcionaría definir una raíz cuadrada por $c=-\vert a \vert$ Pero supongo que a los matemáticos que lo decidieron les gustaba más trabajar con números positivos.

El objetivo de todo esto era simplemente establecer que sacar la raíz cuadrada de un número al cuadrado, no invierte su exponente, porque no se puede invertir definitivamente. Como usuario86418 lo puso:

Si a y b son números reales, entonces las condiciones $a^2=b$ y $a=\sqrt{b}$ no son lógicamente equivalentes; la segunda implica a la primera, pero no a la inversa.

Por ello, a efectos de convención, se ha definido la raíz cuadrada como el valor absoluto del número original elevado al cuadrado. Por eso, si se introducen las funciones $y^2 = x$ y $y = \sqrt{x}$ en una calculadora gráfica o Wolfram Alpha Verás que obtienes dos gráficos de aspecto muy diferente. Observe cómo el gráfico de $y=\sqrt{x}$ nunca baja del $x$ -eje. Si se hubiera definido una raíz cuadrada como siempre negativa, la gráfica de $y=\sqrt{x}$ simplemente se voltearía sobre el $x$ -eje.

y^2 = xy = sqrt{x}

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¿puede la persona que ha votado en contra explicarlo?

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No he hecho downvote, pero no entiendo sus usos del tiempo. Suena como si estuvieras afirmando que una ecuación funcional con múltiples soluciones, como $\sin x = 0$ "sólo puede tener una solución en un momento dado" (ya que, de lo contrario, las matemáticas contendrían una contradicción, por ejemplo $\pi = 0$ ). ¿Expresa realmente esta paráfrasis su punto de vista con exactitud?

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@user86418 - no exactamente. $\sin(x) = 0$ es verdadero para un número infinito de $x$ sin embargo, eso no significa que $x$ es igual a cada uno de esos valores simultáneamente. Lo que quiero decir con esto es que cuando se dice que la ecuación es verdadera para un número infinito de $x$ significa que $x$ es igual a cualquiera de ellos, pero no todo de ellos, de lo contrario sería terminar con $\pi = 0$ .

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David Ongaro Puntos 180

Técnicamente esta afirmación es errónea. Podría decir: "La raíz cuadrada de un número positivo es positiva (por definición)". Por ejemplo, para 0 se obtiene $\sqrt{0}=0$ que no es ni positivo ni negativo. Y para los números negativos se obtienen incluso soluciones complejas que no son ni positivas ni negativas ni 0.

El artículo definido y el singular en "la raíz cuadrada" también es importante para implicar la definición convencional de $\sqrt{}$ . Pero más correctamente debería decir "la raíz cuadrada principal", porque matemáticamente la expresión "la raíz cuadrada" no tiene sentido, ya que hay dos raíces diferentes en general.

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King Squirrel Puntos 893

La raíz cuadrada se define como la raíz positiva. En realidad siempre hay 2 raíces, una positiva y otra negativa. Piensa en la raíz cuadrada de 4, lo que se está preguntando es "¿qué dos números que son iguales se multiplican a 4?" La respuesta sería 2 o -2 porque 2x2=4 y (-2)x(-2)=4.

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"Siempre 2 raíces, una positiva y otra negativa"... Excepto $0$ que tiene una raíz con multiplicidad $2$ que no es ni positivo ni negativo.

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