12 votos

Mostrar la divisibilidad por 7

Estaba pegado a esta pregunta:

Supongamos $a^2+b^2=c^2$$a,b,c \in \mathbb Z$, y ninguna de las $a$ ni $b$ es un múltiplo de 7. Mostrar que $a^2-b^2$ es un múltiplo de 7

Traté de escribir $b^2$ $c^2-a^2$ obtener $a^2-b^2=2a^2-c^2$. Pero esto no parece generar la solución.

Cómo resolver problemas como este, que me estoy perdiendo algunos teoremas sobre Pitágoras los números?

7voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

SUGERENCIA:

Si $n\equiv0,\pm1,\pm2,\pm3;n^2\equiv0,1,4,2\pmod7$

Por eso, $a^2,b^2\equiv1,2,4$

Compruebe $c^2\pmod7$ al $a^2\not\equiv b^2\pmod7$

Pero mi mayor preocupación es cómo el problema, específicamente $\pmod7$ fue concebido!

5voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

El uso de Euclides de la fórmula, $a=2mn, b=m^2-n^2$

Tenemos $7\nmid2mn(m^2-n^2)$

Ahora, $(m^2-n^2)^2-(2mn)^2=m^4+n^4-6m^2n^2\equiv m^4+n^4+m^2n^2\pmod7$

Pero $(m^2-n^2)(m^4+n^4+m^2n^2)=(m^2)^3-(n^2)^3\equiv1-1\pmod7$ el uso de Fermat Poco Teorema como $(m,7)=(n,7)=1$

$\implies7|(m^4+n^4+m^2n^2)$ $7\nmid(m^2-n^2)$

Se puede tomar desde aquí?

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