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¿La diferencia entre números primos consecutivos es siempre un número par?

Si miramos la diferencia entre los números primos consecutivos, $p \gt 2$ siempre parece ser un número par.

Por ejemplo, aquí están los siete primos consecutivos que comienzan en el $10^{10th}$ de primera clase.

$p_i = \{252097800623, 252097800629, 252097800637, 252097800667, 252097800737, 252097800743, 252097800839\}$

Las diferencias entre los primos consecutivos anteriores son $\{6, 8, 30, 70, 6, 96\}$ y todos son un número par.

Esto, por supuesto, es automático para los primos gemelos ya que por definición difieren por $2$ .

Además, esto vale para todos primos equilibrados , A006562 - Primeros balanceados ya que tenemos $2*p_n = p_{n-1} + p_{n+1}$ .

Hay una tabla de tales valores en A001223 - Diferencias entre primos consecutivos en OEIS.

Mis preguntas son:

1) ¿Se considera una conjetura que la diferencia entre primos consecutivos $p \gt 2$ es siempre un número par?

No estaba seguro de si había algún argumento con respecto a Brechas de primera clase que garantiza tal resultado y es fácil.

(2) ¿Se ha demostrado esto?

Tengan en cuenta que encontré el Función de la diferencia principal pero, ¿es eso lo último?

Saludos

18 votos

Dos primos cualesquiera mayores que $2$ son impar. ¿Así que su diferencia es...?

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@julien: ¡Debe ser para mí! ¿Puede un moderador borrarlo, por favor? ¡Gracias!

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No hace falta que lo borres... ¡es una bonita pregunta! ;-)

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Neal Puntos 16536

Estás pensando demasiado en esto.

En primer lugar, a la pregunta del título (pero no como se plantea en el texto) no: $3-2=1$ .

Como se pide en el texto para los primos Impares, entonces la diferencia entre dos números Impares es siempre un número par: $$2p+1 - (2q+1) = 2(p-q).$$

4 votos

En otras palabras, el caso específico de consecutivos Que los primos Impares tengan una diferencia par se deduce de la generalidad (que dos números Impares tengan una diferencia par).

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Otto Allmendinger Puntos 11853

Piensa en binario. Para todos los primos Impares el último dígito, en binario, es 1. Así, para dos primos Impares cualesquiera:

P1 = ...1 P2 = ...1 X = P1 - P2 = (+/-)...0

Donde ... representa los dígitos iniciales que haya.

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Yo upvote cuando veo una cantidad total negativa de votos y la respuesta es correcta. +1

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Stefan Babos Puntos 371

Sí, siempre. Si obtenemos dos números primos $\gt 2$ , entonces ambos son Impares y la diferencia de dos números Impares es siempre par. Esto se puede demostrar simplemente:
Cada número primo $\gt 2$ es impar. Esto se puede demostrar por contradicción: Si ese número es par, entonces este número es divisible por $2$ y entonces no es un número primo.
La diferencia entre dos números Impares es siempre par. Tengamos unos dos números Impares $p_1$ y $p_2$ . Estos números son Impares y según esto podemos expresar estos números como $p_1=2k+1$ y $p_2=2l+1$ , donde $k\ge 1$ y $l \ge k$ entonces $\Delta = p_2 - p_1 = 2l+1-2k-1=2(l-k)$ . Este número es par y la diferencia dos números Impares, incluso primos,( $\gt 2$ ) es siempre un número par.

1voto

Anil KesarwNi Puntos 11

Sí, esto es absolutamente cierto, la diferencia entre dos números consecutivos o cualquier número primo siempre será un número par. si el número no es 2 y 3.

Argumento lógico de la prueba, Hay un hecho común que la diferencia entre dos números Impares debe ser un número par y cualquier número primo debe ser número impar por lo que la diferencia entre cualquier número primo que no sea 2,3 será un número par. Gracias Anil Kesarwani

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