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$2d^2=n^2$ implica que el $n$ es múltiplo de 2

Estoy leyendo una prueba de la irracionalidad de la $\sqrt 2$. En un paso que los estados que $2d^2=n^2$ implica que el $n$ es múltiplo de 2. Cómo?

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DonAntonio Puntos 104482

$\;2\;$ es un primer y divide el lado izquierdo en $\,2d^2=n^2\;$ , así que por el teorema fundamental de la aritmética también divide el lado derecho...

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Meltemi Puntos 1730

Si $n^2 = 2d^2$, $n^2$ es un múltiplo de a $2$ por lo tanto, incluso.

Ahora podemos probar: $n^2$ incluso implica $n$ incluso.

Prueba: abordamos el contrapositivo, es decir, $n$ impar implica $n^2$ impar.

Desde $n$ es impar, podemos escribir $n = 2k+1$ para algunos entero $k$.

A continuación,$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, que es un número impar.

(Es de la forma $2m + 1$ para un entero $m = 2k^2 + 2k$.)

Esto completa la prueba, y el contrapositivo es la declaración que le pidieron. QED

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Scott McClung Puntos 171

Desde $d$ es un número entero, $2d^2$ debe ser par. Para cualquier entero impar $n$, $n^2$ también debe ser impar. Por lo tanto, $n$ debe ser par, y por lo tanto un múltiplo de 2.

3voto

AlexR Puntos 20704

Funciona para cualquier prime $p$: $$p|n^2 \Rightarrow p|n$$ Esto es debido a la singularidad de ser el primer factor de la descomposición.

-2voto

ValdaR Puntos 11

cuadrados de los números pares son aún, por lo $n$ es incluso

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