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Es el centro de un anillo de un ideal?

Deje $Z(R) = \{ a \in R : ax = xa,\text{ for all $x \in R$}\}$

Es $Z(R)$ un ideal de a $R$?

Intento: ya he demostrado que $Z(R)$ es un sub-anillo de $R$. Yo diría que sí, ya que si $x \in R$, $xa$ es un elemento en el $Z(R)$ e si $a\in Z(R)$, luego tenemos a $ax\in Z(G)$. Así que, por definición, es un ideal por el $R$.

Por favor, ¿alguien puede por favor dar alguna información? Gracias.

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Incnis Mrsi Puntos 487

Sugerencia: Si $I$ es un ideal de un anillo de $R$$1\in I$,$I=R$. Por otra parte, uno puede mostrar que $1\in Z(R)$. Por lo tanto $Z(R)$ es un ideal si y sólo si $Z(R)=R$. Usted puede usar esto para encontrar un contraejemplo?

La sugerencia anterior nos dice que $Z(R)$ es un ideal de a $R$ si y sólo si $R$ es un anillo conmutativo. Por lo tanto, dejar $R$ ser su favorito no conmutativa anillo (decir que el anillo de $n\times n$ matrices de más de $\Bbb C$) da un contraejemplo.

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Michael Kniskern Puntos 7276

Para mostrar $I = Z(R)$ es un ideal, usted necesita para mostrar dos cosas: (1) $I$ es un subgrupo aditivo de $R$. (2) $I$ absorbe $R$ en ambos lados. Se mostró (2) ya. La forma más rápida de (1) está demostrando que $I$ es cerrado bajo el mapa binario $f(x,y) = x - y$. Después de que usted puede probar que de hecho tienen un aditivo grupo.

Deje $x, y \in I$. A continuación, para cualquier $a \in R$, $a(x-y) = ax - ay = xa - ya = (x - y) a$ a partir de los axiomas de anillo, por lo $I$ es cerrado bajo la resta. QED

$a \in R , x \in Z(R) \implies (ax)b = a(xb) = abx \neq b(ax)$ necc. Así que usted estaba equivocado acerca de la primera parte. Es un aditivo subgrupo, aunque!

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