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¿Por qué todos los números primos$n>3$ satisfacen$\,309\mid 20^n-13^n-7^n$

Resolver el siguiente... $309|(20^n-13^n-7^n)$ en $\mathbb{Z}^+$. He invertido lotof tiempo para ello y, finalmente, fue a WolframAlpha para ayudar escribiendo... Solucionar $309k=20^n-13^n-7^n$ más de los números enteros. Devolvió el siguiente...enter image description here enter image description here tenga en cuenta que todos los números primos se generan aquí. Por favor alguien puede explicar por qué? Gracias! EDIT: las fórmulas sugeridas en el answerare demasiado complicado, pero esto es así de simple!!!

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Matthew Scouten Puntos 2518

$20^6 \equiv 13^6 \equiv 7^6 \equiv 229 \bmod 309$, lo $20^n \equiv 13^n + 7^n \mod 309$ si y sólo si $20^{n+6} \equiv 13^{n+6} + 7^{n+6} \bmod 309$. Desde que hace el trabajo para $n=1$ e $n=5$, pero no por $0$, $2$, $3$ o $4$, nos encontramos con que $20^n \equiv 13^n + 7^n \bmod 309$ si y sólo si $n \equiv 1$ o $5 \bmod 6$.

Todos los números primos excepto $2$ e $3$ son congruentes a $1$ o $5 \bmod 6$. $2$ o $3$ no se puede dividir un número congruente a $1$ o $5 \bmod 6$, por lo que no es fácil para un número pequeño de esta forma compuesta. Los primeros compuestos de se $25 = 5^2$, $35 = 5 \cdot 7$, $49 = 7 \cdot 7$, $55 = 5 \cdot 11$, ...

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Hasta el momento sólo han mostrado evidencia de que algunos de los números primos se generan aquí, no todos de ellos. Es interesante cómo muchos hay, sin embargo. Hay algunos polinomios que generan un número exorbitante de los números primos. Aquí están algunos ejemplos. Usted probablemente tendrá que hacer mucho más trabajo que simplemente explorando la idea numéricamente para demostrar que todos los números primos son generados. Incluso si lo haces, estas funciones no son súper interesantes, ya que no producen primos también. No se sabe si un número que se genera es primo o no hasta que la prueba de primalidad, así que no puede ser utilizado para generar la $n^{th}$ prime sin tener que hacer mucho más en la computación. Bastante bien, aunque.

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Mark Fischler Puntos 11615

Un trivial observación es que no genera todos los impares, números primos: $3$ falta.

Sin embargo, puedo comprobar que todos los números primos hasta $59359$ (aparte de $2$ e $3$) están representados.

Esto tiene mucho que ver con el hecho de que $(a^2-ab+^2)$ es al parecer un factor de $a^n-b^n-(a-b)^n$ para todos los prime $n>3$. Aquí, $a=20, b=13$.

Pero el hecho es al menos tan interesante como la observación, y no sé cómo demostrarlo.

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