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Cálculo de una acción de Galois sobre elementos como un polinomio.

Estoy tratando de entender cómo se dan cuenta de Galois acciones en las raíces a través de polinomios.

Si tomamos la extensión de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ con generador de $\sqrt{2}$ y un mínimo de polinomio $f(x) = x^2 - 2$, podemos ver que las dos raíces son $\sqrt 2,-\sqrt 2$, y así el polinomio $\sigma(x) = -x$ da cuenta de la Galois acción intercambiando las dos raíces. Funciona de la misma manera con $\sqrt{3}$.

Tenga en cuenta que $\sigma$ es , en realidad, no un campo de automorphism, y que depende del elemento $\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Si estábamos actuando en $a + b\sqrt{2}$, necesitaríamos el polinomio $x \mapsto 2a - x$.

Si ahora damos el mayor campo de $L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, luego tenemos a la $\mathbb{Q}$-espacio vectorial base $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{2}\sqrt{3}\}$$L$, y podemos ver que el Galois de acción generado por $\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}$$\sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}$, ambos de los cuales son realizados por el polinomio $\sigma(x)$.

Sin embargo, si tomamos las $\mathbb{Q}$-álgebra generador de $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$L$, aunque en el Galois de acción en $\alpha$ es visto a voltear los signos de los dos términos, esta acción se genera ahora por los polinomios $\sigma(x) = -x$$\tau(x) = x^3 - 10x$.

¿Cómo se puede calcular estos polinomios $\sigma, \tau$? Si conocemos todos los conjugados de la $\alpha$ bajo la Galois de acción, y con el hecho de que $\alpha$ genera $L/\mathbb{Q}$ como álgebra, a continuación, expresando un conjugado $\bar{\alpha}$ en base a la $\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}$, le han encontrado un polinomio de $\bar{\alpha}$ grado $\leq 3$$\alpha$. ¿Cuál es la forma más eficiente de hacer esto? ¿Me ayuda a saber que el polinomio mínimo de a$\alpha$$m(x) = x^4 - 10x^2 + 1$?

Dado cualquier elemento de $L$, me gustaría ser capaz de expresar la acción en ella por medio de polinomios.

En algunos casos, el polinomio no se define sobre la base de campo o de los conjugados no se encuentran en el campo extensión. Por ejemplo, en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$, la acción en $\sqrt[3]{2}$ está dado por el polinomio lineal $x \mapsto \zeta_3x$. Pero entonces, ¿qué acerca de los conjugados del elemento $a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}$?

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Michael Steele Puntos 345

Usted puede pensar en ellos como la interpolación de polinomios de una permutación de $\alpha$ y sus conjugados.

Si usted representa a una permuation objeto como un conjunto de puntos de $\{(x_i,y_i)\}$, entonces el grupo de Galois actúa de forma natural en los sets, y el grupo también actúa sobre los coeficientes del polinomio de interpolación de ir a través de esos puntos. Resulta que la acción es la misma en ambos casos.

Así se obtiene coeficientes racionales si y sólo si la permutación con el que comenzó, como un conjunto de parejas de elementos de $L$, sí es invariante por el grupo de Galois. Y si no lo es, los coeficientes tienen que vivir en el subcampo correspondiente.

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