descomposición parcial no resuelta

Question

Tengo algunos problemas para hacer esta descomposición de fracción parcial:$$\frac{1}{t^3-2t+1}$ $ usando la regla de Ruffini que obtengo:$$\frac{1}{t^3-2t+1}= \frac{1}{(t-1)(t^2+t-1)}$ $ me gustaría descomponer el resultado anterior en una fracción parcial. Lo hice de esta manera:$$\frac{1}{(t-1)(t^2+t-1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t^2+t-1} \leftrightarrow$ $$$\leftrightarrow t^2A+t(A+B)+(-A-B)=1$ $

comparando los coeficientes obtengo el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{cases} A=0 \\ A+B=0 \\ -A-B=1 \end {casos} que no son verdad ... ¿qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Debe ser$$\frac A{t-1}+\dfrac{Bt+C}{t^2+t-1}$ $

Ver : Descomposición parcial de fracciones.

Answer 2

Aviso, en general$$\frac{1}{(ax+b)(px^2+qx+r)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}$$ Now, factorizing the expression, we have $$\frac{1}{(t-1)(t^2+t-1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{Bt+C}{t^2+t-1}$$ $$\implies \frac{1}{(t-1)(t^2+t-1)}=\frac{A(t^2+t-1)+(Bt+C)(t-1)}{(t-1)(t^2+t-1)}$$ $$\implies (A+B)t^2+(A-B+C)t-(A+C)=1$$ Now, comparing the corresponding coefficients of both the sides, we get $ $ \begin{cases} A+B=0\\ A-B+C=0\\ A+C=-1 \end {casos}$$ On solving the above three equations, we get $ A = 1, B = -1$ & $ C = -2 $ Por lo tanto, las fracciones parciales requeridas son las siguientes$$\frac{1}{(t-1)(t^2+t-1)}=\frac{(1)}{t-1}+\frac{(-1)t+(-2)}{t^2+t-1}$$$$ = \ color {azul } {\ frac {1} {t-1} - \ frac {t +2} {t ^ 2 + t-1}} $$