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¿Qué subcampos del grupo de Galois de$x^4+8x^2+8x+4$ son Galois y encuentran el polinomio de campo de división?

Esta pregunta es un ejercicio de Dummit y Foote:

1)quiero encontrar el grupo de Galois de $f(x)=x^4+8x^2+8x+4$.

2)Que los subcampos de la división de campo de la $x^4+8x^2+8x+4$ son Galois sobre $\Bbb Q$?

3) Para los subcampos que se Galois sobre $\Bbb Q$, encontrar el polinomio $f(x) \in \Bbb Q[x]$ para los que son de la división de campo de más de $\Bbb Q$.

Mi intento:

He calculado que $f(x)$ es irreductible, por otra parte, la resolvent cúbico $h(x)=x^3-16x^2+48x+64$ es irreductible. De nuevo el discriminante $315392$ no es un cuadrado, de manera que el grupo de Galois tiene a $S_4$. Por lo tanto, parte 1) está hecho.

Ahora, los subcampos del grupo de Galois de $x^4+8x^2+8x+4$ cuales son Galois se corresponden con el campo fijo de un subgrupo normal de $S_4$ que se $K_4$ e $A_4$. Así que, en cierto sentido, parte 2) resuelto. Si me quieren responder a esta pregunta, como un campo de $Fix(K_4)=\Bbb Q(a_1,\cdots,a_n)$ e $Fix(A_4)=\Bbb Q(b_1,\cdots,b_r)$ entonces lo que va a ser $a_i$ e $b_j$.

No estoy recibiendo ninguna pista para la parte 3). Por favor, ayudar.

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Stefan4024 Puntos 7778

En primer lugar usted tiene un error en el cálculo del discriminante, como es $200704 = (7 \cdot 12^6)^2$. Esto significa que el grupo de Galois es $A_4$, en lugar de $S_4$.

Ahora los grupos normales de $A_4$ se $\{e\}, K_4$ e $A_4$. Así que la única adecuada Galois subcampo es el cor-respondiente a $K_4$. Ahora como $[A_4:K_4] = 3$ tenemos que la cor-respondiente campo es cúbico. Ahora uso el hecho de que la división de campo de la $f$ contiene la división de campo de su cúbicos resolvent. Llamar al último $L$. Entonces no es difícil concluir que $[L:\mathbb{Q}] = 3$ y este debe corresponder a $K_4$, $A_4$ tiene un único subgrupo de índice $3$. Por lo tanto, $L$ es la división de campo de la $x^3 - 16x^2 + 48x + 64$.

NOTA: Para probar que $[L:\mathbb{Q}] = 3$, puede utilizar el hecho de que la $f$ y su resolvent tienen el mismo discriminante, que ya hemos encontrado a ser un cuadrado.

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