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¿Por qué un CDF necesita ser correcto-continuo?

Como usted puede saber, si $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad y $X\colon\Omega\to\mathbb{R}^k$ es una variable aleatoria, entonces la función de distribución acumulativa de $X$ se define como $$F_X(a):=\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega\,\colon X(\omega)\leq a\})=\mathbb{P}\Big(X^{-1}\Big(\prod_{i\in [k]}(-\infty,a_i]\Big)\Big),\,\text{ for each } a\in\mathbb{R}^k.$$

Esta función está siempre a la derecha-continuo. Es decir, para cada una de las $x\in\mathbb{R}^k$ tenemos $\lim_{a\downarrow x}F_X(a)=F_X(x)$.

Mi pregunta es: ¿por Qué es esta propiedad importante? Es allí cualquier capital resultado en la teoría de la probabilidad que depende de él?

5voto

Saucy O'Path Puntos 233

Así, en un número finito de medida (por decir un número finito de $\sigma$-aditivo medida) de espacio, si $\{A_i\}_{i\in\Bbb N}$ es una secuencia de conjuntos medibles tales que $A_i\supseteq A_{i+1}$ para todos los $i$, a continuación, $\mu\left(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_i\right)=\inf_{n\in\Bbb N} \mu(A_i)=\lim_{n\to\infty} \mu(A_i)$. En el caso especial donde todos los $A_i$-s son hyperrectangle en el formulario de $R\left(a^{(i)}\right)=\left(-\infty,a^{(i)}_1\right]\times\cdots\times\left(-\infty, a^{(i)}_k\right]$ e $\mu=\Bbb P_X$, esto se traduce en $$\mathbb P_X\left(R(a)\right)=\mathbb P_X\left(\bigcap_{i\in\Bbb N} R\left(a^{(i)}\right)\right)=\lim_{n\to\infty} \mathbb P_X\left(R\left(a^{(i)}\right)\right)$$ for all $a^{(i)}\searrow$. Que en realidad es la continuidad a la derecha de la CDF.

4voto

Michael Puntos 5270

Esto puede ser demostrado a partir de la "continuidad de la probabilidad" resultado para los eventos que se reducen a una limitación de eventos: $$A_n\searrow A \implies P[A_n]\rightarrow P[A]$$ (y esto se deriva de la contables axioma de aditividad).


Una razón por la que esto es importante es que ayuda a los estudiantes a ser más precisos cuando se dibujan CDF funciones. Ellos necesitan aprender a estar orientado a los detalles y bastante al respecto de este problema cuando los puntos de discontinuidad surgir.

Otra razón de importancia es el que se refiere a esta cuestión:

Pregunta: "¿Qué funciones $F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ son válidos CDF funciones?"

Respuesta: Una función de $F(x)$ es válido CDF, lo que significa que existe una variable aleatoria $X$ para que $P[X\leq x] = F(x)$ para todos los $x \in \mathbb{R}$, si y sólo si estos cuatro criterios se cumplen:

  • $F(x)$ es no decreciente.
  • $\lim_{x\rightarrow-\infty} F(x) = 0$.
  • $\lim_{x\rightarrow\infty} F(x)=1$.
  • $F(x)$ es de derecha continua.

Por lo que el derecho-continua la propiedad tiene un lugar de importancia en esta cuestión fundamental.


Este hecho es útil para resolver esta pregunta natural: Vamos a $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ ser yo.yo.d. variables aleatorias uniformes en $[-1,1]$. Definir $$ L_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \quad \forall n \in \{1, 2, 3, ...\}$$ ¿Existe una variable aleatoria $Y$ para que la distribución de $L_n$ converge a la distribución de $Y$? La respuesta es "no", porque: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} P[L_n\leq x] = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ if %#%#%}\\ 1/2 & \mbox{ if %#%#%}\\ 0 & \mbox{ if %#%#%} \end{array}\right.$$ y, porque esto no está bien-continuo, esto no es válido CDF función para cualquier variable aleatoria.

Por supuesto, la CDF de la siempre cero de la variable aleatoria $x >0$ es el derecho-unidad continua función de paso, que difiere de la función anterior en el punto de discontinuidad en $x=0$. Tales problemas son la razón por la que la definición de "$x<0$ en la distribución" tiene la advertencia de que la convergencia $0$ sólo se necesita llevar a cabo en puntos de $x=0$ donde $Y_n\rightarrow Y$ es continua. Con esta advertencia en mente, es correcto decir que $P[Y_n\leq y] \rightarrow P[Y\leq y]$ en la distribución (y, por supuesto, también sabemos $y$ con una probabilidad de 1 por la ley de los grandes números).

3voto

Noob Puntos 27

No "tiene" que ser. Una función de distribución se define como $$F_X(x)=\mathbb{P}_X((-\infty,x])=\mathbb{P}(X\leq x)$ $

Entonces es correcto continuo (se sigue de la continuidad de las medidas desde arriba). Podría definirse como $$F_X(x)=\mathbb{P}_X((-\infty,x))=\mathbb{P}(X<x)=1-\mathbb{P}(X\geq x)$ $ Luego se deja continuo, lo que de nuevo se sigue de la continuidad de las medidas.

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