Esto puede ser demostrado a partir de la "continuidad de la probabilidad" resultado para los eventos que se reducen a una limitación de eventos:
$$A_n\searrow A \implies P[A_n]\rightarrow P[A]$$
(y esto se deriva de la contables axioma de aditividad).
Una razón por la que esto es importante es que ayuda a los estudiantes a ser más precisos cuando se dibujan CDF funciones. Ellos necesitan aprender a estar orientado a los detalles y bastante al respecto de este problema cuando los puntos de discontinuidad surgir.
Otra razón de importancia es el que se refiere a esta cuestión:
Pregunta: "¿Qué funciones $F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ son válidos CDF funciones?"
Respuesta: Una función de $F(x)$ es válido CDF, lo que significa que existe una variable aleatoria $X$ para que $P[X\leq x] = F(x)$ para todos los $x \in \mathbb{R}$, si y sólo si estos cuatro criterios se cumplen:
- $F(x)$ es no decreciente.
- $\lim_{x\rightarrow-\infty} F(x) = 0$.
- $\lim_{x\rightarrow\infty} F(x)=1$.
- $F(x)$ es de derecha continua.
Por lo que el derecho-continua la propiedad tiene un lugar de importancia en esta cuestión fundamental.
Este hecho es útil para resolver esta pregunta natural: Vamos a $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ ser yo.yo.d. variables aleatorias uniformes en $[-1,1]$. Definir
$$ L_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \quad \forall n \in \{1, 2, 3, ...\}$$
¿Existe una variable aleatoria $Y$ para que la distribución de $L_n$ converge a la distribución de $Y$? La respuesta es "no", porque:
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} P[L_n\leq x] = \left\{\begin{array}{ll}
1 & \mbox{ if %#%#%}\\
1/2 & \mbox{ if %#%#%}\\
0 & \mbox{ if %#%#%}
\end{array}\right.$$
y, porque esto no está bien-continuo, esto no es válido CDF función para cualquier variable aleatoria.
Por supuesto, la CDF de la siempre cero de la variable aleatoria $x >0$ es el derecho-unidad continua función de paso, que difiere de la función anterior en el punto de discontinuidad en $x=0$. Tales problemas son la razón por la que la definición de "$x<0$ en la distribución" tiene la advertencia de que la convergencia $0$ sólo se necesita llevar a cabo en puntos de $x=0$ donde $Y_n\rightarrow Y$ es continua. Con esta advertencia en mente, es correcto decir que $P[Y_n\leq y] \rightarrow P[Y\leq y]$ en la distribución (y, por supuesto, también sabemos $y$ con una probabilidad de 1 por la ley de los grandes números).