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¿Cómo se puede encontrar los ceros de $f(x)=ae^{bx}+cx+d$?

Un cierto problema de física que he estado trabajando, se ha convertido en un problema de matemáticas. En particular, quiero encontrar las soluciones de algunas ecuaciones de la forma

$$f(x)=ae^{bx}+cx+d = 0$$

donde $a, b, c,$ $d$ son constantes, números reales que provienen de la física del problema y $x$ será un número real. No sé cómo encontrar las soluciones de una ecuación de esta forma. En el caso especial donde $c=0$, la solución es simplemente

$$x = \frac{\ln(\frac{-d}{a})}{b}$$

pero para otros valores de $c$, estoy perplejo. Si no hay forma exacta de las raíces, hay una forma relativamente sencilla de calcular las raíces?

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ILIV Puntos 421

$$ae^{bx}=-(cx+d)$$ Vamos a : $y=-(cx+d)$ hense $x=-\frac{1}{c}(y+d)$ $$ae^{-\frac{b}{c}(y+d)}=y$$ $$ae^{-\frac{bd}{c}}=ye^{\frac{b}{c}y}$$ $$\frac{ab}{c}e^{-\frac{bd}{c}}=\frac{b}{c}ye^{\frac{b}{c}y}$$ Deje $X=\frac{b}{c}y$ $$Xe^X=\frac{ab}{c}e^{-\frac{bd}{c}}$$ Con la función W de Lambert : $$X=W\left(\frac{ab}{c}e^{-\frac{bd}{c}}\right)$$ $x=-\frac{1}{c}(y+d)=-\frac{1}{c}\left(\frac{c}{b}X+d\right)=-\frac{1}{b}X-\frac{d}{c}$ $$x=-\frac{1}{b}W\left(\frac{ab}{c}e^{-\frac{bd}{c}}\right)-\frac{d}{c}$$

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Yves Daoust Puntos 30126

Por cambio de variable, se puede activar la ecuación para

$$e^t=mt+p$ $ , que describe la intersección de una línea recta con la exponencial. Como se describe en el post de @jjacquelin, esto se puede resolver utilizando la función de Lambert.

Si usted no tiene $W$ a mano, usted puede recurrir a los clásicos métodos numéricos.

Derivando la ecuación,

$$e^t=m$$ gives you the slope of the tangent, wich occurs at $t_0=\ln(m)$. Then, a parallel to the tangent intersects the exponential in $0$ or $2$ points, depending on the value of $p$ en comparación con

$$p_0=e^{t_0}-mt_0=m-m\ln(m).$$

Si $p<p_0$ no hay intersección; si $p=p_0$, una doble raíz en $t=t_0$; de lo contrario, una raíz $t<t_0$ y el otro $t>t_0$. Usted puede encontrar las primeras estimaciones de la solución de esta ecuación cuadrática para $t$ (derivan de la utilización de Taylor):

$$e^t\approx1+t+\frac{t^2}2=mt+p.$$

El caso de $m<0$ es diferente. Siempre hay una sola raíz y usted puede comenzar a Newton iteraciones de cualquier valor.

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