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Demostrar que 16, 1156, 111556, 11115556, 1111155556... son cuadrados.

Tengo 16 años, y estoy estudiando para mi examen de matemáticas que viene este lunes. En el capítulo "secuencias y series", no es este ejercicio:

Demostrar que un entero positivo formado por $k$ veces dígitos 1, seguido por $(k-1)$ los tiempos de dígitos 5 y terminando en un 6, es el cuadrado de un entero.

Yo no soy un hablante nativo de inglés, así que mi traducción del ejercicio podría ser un poco cutre. Lo que dice es que 16, 1156, 111556, 11115556, 1111155556, etc, son todos los cuadrados de los números enteros. Voy a probar eso. Creo que mi principal problema es que no veo la relación entre estos números y secuencias.
Por supuesto, asumimos que utilizamos un sistema de numeración decimal (= base 10)

Puede alguien me apunte en la dirección correcta (o simplemente probarlo, si es difícil dar una pista sin dar toda la evidencia). Creo que no puede ser tan difícil, ya que se supone que debo resolver.

Para asegurarse, mediante el uso de la palabra "entero", me refiero a "número natural" ($\in\mathbb{N}$)

Gracias de antemano.


Como TMM señalado, las raíces cuadradas son 4, 34, 334, 3334, 33334, etc...

Esta fila está dada por una de las siguientes descripciones:

  • $t_n = t_{n-1} + 3*10^{n-1}$
  • $t_n = \lfloor\frac{1}{3}*10^{n}\rfloor + 1$
  • $t_n = t_{n-1} * 10 - 6$

Pero, todavía no veo ningún progreso en mis pruebas. Un ser humano puede ver en estos números de un sistema y se puede decir que sea la correcta para $k$ ir $\infty$. Pero esto no es suficiente para un matemático de la evidencia.

47voto

afarnham Puntos 1750

Marca Bennet ya sugiere mirar los números de serie geométrica, así que voy a utilizar un enfoque ligeramente diferente. En lugar de escribir las plazas como, trate de escribir de la siguiente manera:

$$\begin{align} 15&.999\ldots = 16 \\ 1155&.999\ldots = 1156 \\ 111555&.999\ldots = 111556 \\ \vdots\end{align}$$

Estos números se pueden expresar como una suma de tres números, de la siguiente manera:

$$\begin{align} 111111&.111\ldots \\ 444&.444\ldots \\ 0&.444\ldots \\ \hline 111555&.999\ldots \end{align}$$

Desde $1/9 = 0.111\ldots$, obtenemos

$$\begin{align} 111111&.111\ldots = \frac{1}{9} \cdot 10^{2k} \\ 444&.444\ldots = \frac{1}{9} \cdot 4 \cdot 10^k \\ 0&.444\ldots = \frac{1}{9} \cdot 4 \\ \hline 111555&.999\ldots = \frac{1}{9} \left(10^{2k} + 4 \cdot 10^k + 4\right). \end{align}$$

Pero esto puede ser escrito como un cuadrado:

$$\frac{1}{9} \left(10^{2k} + 4 \cdot 10^k + 4\right) = \left(\frac{10^k + 2}{3}\right)^2.$$

Desde $10^k + 2$ es siempre divisible por $3$, esto es, de hecho, el cuadrado de un entero.

18voto

Ty221 Puntos 143

Esto es lo que yo tengo de pensarlo un poco.

$u_1=16=1+5*10^0+10^1$
$u_2=1156=1+5*10^0+5*10^1+10^2+10^3$
$u_3=111556=1+5*10^0+5*10^1+5*10^2+10^3+10^4+10^5$
$u_k=1+\sum_{n=0}^{k-1} 5*10^n + \sum_{n=k}^{n=2k-1}10^n$
Y $\sum_{n=k}^{n=2k-1}10^n=\sum_{n=0}^{n=2k-1}10^n-\sum_{n=0}^{n=k-1}10^n$

La fórmula para la suma de una serie geométrica finita, tenemos: $$u_k=1+5 \frac{10^k-1}{9}+\frac{10^{2k}-1}{9} - \frac{10^k-1}{9}=1+ \frac{4(10^k)-4+10^{2k}-1}{9}$$ Traer a la 1 en la fracción y cancelación, obtenemos$$u_k=\frac{10^{2k}+4(10^k)+4}{9}=\left(\frac{10^k+2}{3}\right)^2$$

Y hemos terminado.

11voto

David HAust Puntos 2696

$\rm\begin{eqnarray} {\bf Sugerencia}\ & &\,\ 9\ (11\ldots1155\ldots556) \\ &= &\,\ 9\,(11\ldots11 + 44\ldots44\,+\,1) \\ &=&\rm\ \ 10^{2k}-1\ +\ 4(10^k - 1) + 9\\ &=&\rm\ \ 10^{2k} +\, 4\cdot\!10^k\ +\ 4 \\ &=&\rm\ (10^k\ +\ \_\,)^2 \end{eqnarray}$

8voto

MJD Puntos 37705

Marca Bennet sugerencia parece ser un ganador, así que voy a exponer es CW:

Sugerencia - intentar escribir el término general, en términos sencillos, utilizando el hecho de que un bloque de dígitos todos el mismo puede ser resumida como una progresión geométrica. Por lo que una secuencia de $k$ '1 es de $10^k−1\más9$, entonces a ver lo que tiene.

8voto

Rob Allen Puntos 486

k = 1$\rightarrow$ $4^2 = 16$
k = 2$\rightarrow$ $34^2 = 1156$
k = 3$\rightarrow$ $334^2 = 111556$
k = 4$\rightarrow$ $3334^2 = 11115556$
etc

Así,
la parte izquierda está dada por: $(\frac{10^k - 1}{9} + 1)^2$
la parte derecha está dada por: $\frac{10^2k - 1}{9} + 4\frac{10^k - 1}{9} + 1$

el trabajo de ambas partes y verás que son iguales. Ahora se demuestra desde la base del número de la parte izquierda (que es de $\frac{10^k - 1}{9} + 1$) es siempre un número entero.

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