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Vamos $p$, $q$ ser números primos tales que $n^{3pq} – n$ es un múltiplo de a $3pq$ para todos los enteros positivos $n$. Encuentra el mínimo valor posible de $p + q$.

Recientemente un examen llamado PRMO 2017 se llevó a cabo. Pregunta 28 fue de la siguiente manera,

Vamos $p$, $q$ ser números primos tales que $n^{3pq} – n$ es un múltiplo de a $3pq$ para todos los enteros positivos $n$. Encuentra el mínimo valor posible de $p + q$.

Esta pregunta se la considera bastante dura. Muchas personas están diciendo que era demasiado duro para ser puesto en un examen que está abierto a los 14 años de edad.

¿Cómo puede ser resuelto?

No he estudiado la teoría de los números, así que realmente no podía tratar.

Gracias.

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Famke Puntos 129

$\color{Green}{\text{Lemma}}$:

  • Para cada número primo impar $p$; y para cada entero positivo $\alpha$;
    el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_{p^{\alpha}}^*$;
    es un grupo cíclico de orden $\phi(p^{\alpha})= (p-1)p^{\alpha-1}$.
    En otras palabras:

$$ \big( \mathbb{Z}_{p^{\alpha}}^* \ , \times \big) \equiv \big( \mathbb{Z}_{(p-1)p^{\alpha-1}} \ , + \big) . $$

  • Para $\color{Red}{p=2}$; y para cada entero positivo $\color{Red}{3 \leq \alpha}$;
    el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_{2^{\alpha}}^*$;
    es la suma directa de $\mathbb{Z}_2$ y un grupo cíclico de orden $\color{Red}{\dfrac{1}{2}}\phi(2^{\alpha})= \color{Red}{2^{\alpha-2}}$.
    En otras palabras:

$$ \big( \mathbb{Z}_{2^{\alpha}}^* \ , \times \big) \equiv \big( \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_{\color{Red}{2^{\alpha-2}}} \ , + \big) . $$

  • El grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_{2^2}^*$; es un grupo cíclico de orden $2$.
    El grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_{2}^*$; es el trivial de grupo.


Si $n$ es coprime con $3pq$, entonces podemos factor de $n$ y por lo tanto tenemos: $$ n^{3pq }\desbordado{3pq}{\equiv}n \Longrightarrow n^{3pq-1}\desbordado{3pq}{\equiv}1 . $$



Primer caso: Todos los de $3, p, q$ son diferentes. Por el lema anterior, sabemos que:
hay un número entero $a$; con $\text{ord}_p(a)=p-1$.
En el otherhand $a^{3pq-1}\overset{p}{\equiv}1$;
lo que implica que $\color{Blue}{p-1 \mid 3pq-1}$.

Del mismo modo se puede demostrar que $p-1 \mid 3pq-1$ y $3-1 \mid 3pq-1$.


Pero aviso que $\color{Blue}{3pq-1=3(p-1)q}+\color{Purple}{3q-1}$;
de forma similar, tenemos: $3pq-1=3p(q-1)+3p-1$
y $3pq-1=2pq+pq-1$.

Así que podemos concluir que:

$$ \color{Blue}{p-1 \mediados de} \color{color Púrpura}{3t-1} \ \ \ \ \text{y} \ \ \ \ q-1 \mediados de 3p-1 \ \ \ \ \text{y} \ \ \ \ 3-1 \mediados de pq-1 ; $$

el último de divisibilidad condición implica que tanto de $p,q $ debe ser impar;
se puede comprobar que $p=11 , q=17$ satisface la anterior divisiblity condiciones.


¿Por qué estos son los menos posibles valores?

$ \color{Verde}{ \text {Como} \ \color{Red}{\text{@Thomas Andrews}} \ \text{ha sido mencionado:} \\ \color{Red}{\text{"}} \text {podemos asumir} \ p \desbordado{6}{\equiv} 5 \ . \\ \text {[ Porque} \ p−1∣3t−1 \ \text {significa} \ p−1 \ \text {es coprime} \ 3 \ ; \text {} \ p \desbordado{3}{\ncong} 1; \ \text {lo que implica} \ p \desbordado{3}{\equiv} 2 \ \text {. ]} \\ \text {Aviso de que} \ p=5 \ \text {no funciona,} \\ \text {ya} \ 3p−1=14 \ \text {no es divisible por} \ q−1 \ \text {para cualquier} \ q \desbordado{6}{\equiv} 5. \ \\ \text {Por lo que el más pequeño de los valores posibles para} \ p,q \ \text {es} \ 11,17 \ .} \color{Red}{\text{"}}$



Segundo caso: Todos los de $3, p, q$ no están municipio. Vamos a mostrar que este segundo caso es imposible.

  • $p=3$ o $q=3$.
    De assumtion de problema sabemos que:
    $3^{3pq} \overset{9}{\equiv} 3$; por lo tanto tenemos: $0 \overset{9}{\equiv} 3^2 \overset{9}{\equiv} 3$;
    lo cual es una contradicción evidente.

  • $p=q$.
    De assumtion de problema sabemos que:
    $p^{3pq} \overset{p^2}{\equiv} p$; por lo tanto tenemos: $0 \overset{p^2}{\equiv} p^2 \overset{p^2}{\equiv} p$;
    lo cual es una contradicción evidente.

1voto

wujj123456 Puntos 171

Esta no es una respuesta para un principiante. Sin embargo, la Parte (a) de esta más general, el resultado puede ser utilizado, aunque la prueba se deja como ejercicio. Como se define en ese enlace, tenemos $$3pq \mid g(3pq,1)\,,$$ por lo $g(3pq,1)>2$. Por lo tanto, $3pq-1$ debe ser uniforme y $$g(3pq,1)=2\,\prod_{r\in D(3pq,1)}\,r\,,$$ donde $D(3pq,1)$ está definida en el mismo enlace de arriba. De ello se desprende que $p,q\in D(3pq,1)$ son impares, números primos. Es decir,$p-1\mid 3pq-1$$q-1\mid 3pq-1$. El resto va como Famke sugiere (es decir, por la observación de que $3$, $p$, y $q$ deben ser distintos de los números primos impares con $p-1\mid 3q-1$$q-1\mid 3p-1$).

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