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Determinante de la transposición intuitiva prueba

Estamos utilizando Artin de Álgebra de reservar para nuestro curso de Álgebra Lineal. En Artin, det(A^T) = det(A) se demostró el uso de matrices elementales y invertibility. Todos nosotros sentimos que debe haber un "más profundo" o una más fundamental o de una forma más intuitiva de la prueba sin el uso de matrices elementales o invertibility. El que nuestra profe se acercó con transformaciones lineales entre el tensor de álgebras, cuñas y exterior álgebras de que no entendemos. Existen otras pruebas para det(A^T) = det(A) ? Edit: además, hay una prueba geométrica? Para el 2*2 caso al menos?

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Xetius Puntos 10445

Si $A$ es diagonalizable, por lo que existe una matriz invertible $C$ tal que $D=CAC^{-1}$ es diagonal, entonces $D=D^t=(CAC^{-1})^t=C^{-t}A^tC^t$. Desde $D$ $D^t$ tienen el mismo determinante, simplemente porque las dos matrices son de hecho iguales, se sigue de esto que el $A$ $A$ $A^t$ tienen el mismo determinante.

Como diagonalizable matrices son densos en $M_n(\mathbb C)$, y el mapa de $A\in M_n(\mathbb C)\mapsto \det(A)-\det(A^t)\in\mathbb C$ es continua, vemos a la vez que esta función es en realidad constante. Lo que usted quiere que sigue de esto.

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Rasmir Puntos 26

El determinante de una matriz no cambia cuando se calcula a través de cofactor de expansión a lo largo de la columna o de la fila. Ampliando de esta manera a lo largo de una fila en $A$ es equivalente a la expansión a lo largo de una columna de $A^t$. No estoy seguro de si esto es lo que se entiende por "uso de invertibility".

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Chris Ballance Puntos 17329

En mi opinión, la mejor manera de ver que $\det(A^T)=\det(A)$ es a través de la descomposición de la $A$ en tijeras, transposiciones y diagonales de las matrices.

Cada matriz cuadrada $A$ (independientemente del campo) se puede descomponer en un producto de la forma $A=E_sE_{s-1}\cdots E_1DF_1F_2\cdots F_t$ donde $D$ es una matriz diagonal, cada una de las $E_i$ es una primaria de la matriz correspondiente a la fila (es decir, un cortante de la matriz) o fila de conmutación (es decir, una transposición de permutación), y cada una de las $F_j$ es una primaria de la matriz para la columna de adición (de nuevo, una cizalla de la matriz) o columna de intercambio (de nuevo, una transposición de la matriz). Desde

  • cada cortante matriz tiene determinante $1$,
  • cada transposición de la matriz tiene determinante $-1$,
  • la transpuesta de una cizalladura de la matriz es un cortante de la matriz,
  • la transposición de matrices y diagonales de las matrices son simétricas,

de ello se desprende que $\det(A)=\det(A^T)=(-1)^m\det(D)$ donde $m$ es el número total de transposición de matrices entre los $E_i$s y $F_j$s.

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