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Los usos de la reciprocidad cuadrática teorema de

Quiero motivar a la reciprocidad cuadrática teorema, que a primera vista no parece demasiado importante como para justificar que es una de Gauss favoritos. Hasta el momento se me ocurren dos usos básicos suficiente para ser mostrado inmediatamente cuando se presente el teorema:

1) Con la QRT, es inmediato para dar un algoritmo simple, eficiente (que se puede hacer incluso con la mano) para el cómputo de los símbolos de Legendre.

2) En el de Euler, la prueba de Fermat reclamación sobre las condiciones en que un primer $p$ es de la forma $x^2+ny^2$ (para ciertos valores pequeños de $n$) la prueba se reduce a la búsqueda de las condiciones en las que $p$ divide a $x^2+ny^2$ $x,$ y, por tanto, a la pregunta de bajo qué condiciones es $- $ n un residuo cuadrático módulo p$$, que lleva inmediatamente a la QTR (por ejemplo, para $n=3$, de donde obtenemos que $p\equiv_3 1$). Me gusta mucho este ejemplo, puesto que comienza con un "histórico" del problema y se procede a "descubrir" el QTR a través de casos especiales (que es lo que Euler hizo en la práctica - ver Cox, el libro de "los Primos de la forma $x^2+ny^2$").

Sin embargo, estoy seguro de que hay muchos más ejemplos (y estoy especialmente curioso en cuanto a cómo Gauss alcanzado el teorema de sí mismo). Me encantaría oír acerca de ellos y recibir referencias para lectura.

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Bryan Roth Puntos 3592

Esta es una buena pregunta.

Mi propia visión en la motivación de la reciprocidad cuadrática se registra aquí (estos son los apuntes de un curso de licenciatura en introductorio a la teoría de números). Si usted mira, usted encontrará que la mayoría de lo que he dicho, es una elaboración de los dos puntos de traerle. Creo que una fresca manera de explicar en qué QR ¿para usted es en la idea de la "directo" e "inverso" los problemas que se adjunta a la de Legendre símbolo $(\frac{n}{p})$.

Es decir, para el problema directo reparamos $p$ y pedir que los enteros $n$ son cuadrados módulo $p$. Esto es claramente un determinado problema. Por otro lado, existe el problema inverso: el que fijar un entero $n$ y pedir que los primos de p $$ tenemos que $n$ es un cuadrado modulo $p$. Este es, a priori, una infinita problema. Sin embargo, es uno de gran importancia para la clásica teoría de los números: por ejemplo, todas las pruebas que he visto de Fermat Dos Plazas teorema de pasar a través del hecho de que $-1$ es un cuadrado modulo de un extraño prime $p$ ffi $p \equiv 1 \pmod 4$. Más generalmente, si usted mira el Diophantine ecuación $x^2 - n y^2 = p$, $$ n un número entero distinto de cero y $p$ a primera con $\operatorname{mcd}(p,n) = 1$, a continuación, reducir el modulo $p$ da la condición necesaria $(\frac{n}{p}) = 1$. La reciprocidad cuadrática para el rescate!

En segundo lugar, como también dicen, la reciprocidad cuadrática da un algoritmo eficiente para responder a si $n$ es un cuadrado modulo $p$, mucho más rápido que la computación en la totalidad de los $\frac{p-1}{2}$ cuadrados módulo $p$.

En mi experiencia, esto es más que suficiente para que los estudiantes aprecien la utilidad de Gauss' aureum theorema.

14voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Supongo que esto bien podría ser una de respuestas separada. Puede utilizar la reciprocidad cuadrática para dar de primaria las pruebas de ciertos casos especiales de Dirichlet del teorema. En primer lugar, usted debe ser consciente de los siguientes bonito resultado y su "Euclidiana" de la prueba.

Lema: Dejar que $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ y dejar $P_f$ el conjunto de los números primos p $$ tal que $p | f(n)$ $n$. Entonces $P_f$ es infinito.

Prueba. Si $f(0) = 0$, entonces este es obvia, así que supongamos lo contrario. Deje de $p_1, p_2, ... p_n$ ser un conjunto finito de números primos en $P_f$. Entonces para cualquier $k$, $\frac{1}{f(0)} f(k f(0) p_1 ... p_n)$ debe ser divisible por un primo que no es uno de los $p_i$, y la elección de $k$ lo suficientemente grande podemos encontrar un nuevo primer $p_{n+1}$ en $P_f$.

Una alternativa de la prueba se da aquí. El uso de este lema y propiedades de la cyclotomic polinomios, se puede demostrar que existen infinitos números primos congruentes a $1 \bmod$ n de $n$ sin ningún tipo de maquinaria pesada, así que voy a omitir estos casos.

El uso de la reciprocidad cuadrática, se puede probar que las siguientes progresiones aritméticas también contienen una infinidad de números primos:

  • $11 \bmod 12$: Dejar que $f(x) = 3x^2 - 1$. Entonces $p | f(n)$ implica $\left( \frac{3}{p} \right) = 1$. Sin embargo, podemos modificar la prueba del lema para demostrar que una infinidad de los números primos dividiendo $f$ debe ser congruente a $3 \bmod 4$. Para ver esto, vamos a $p_1, .. p_n$ ser un número finito de números primos con esta propiedad y considerar $f(2 p_1 ... p_n) \equiv 3 \bmod 4$. De ello se desprende que un número infinito de números primos p $$ satisfacer $\left( \frac{3}{p} \right) = 1$ y $p \equiv 3 \bmod 4$, así que por reciprocidad cuadrática $\left( \frac{p}{3} \right) = -1$, entonces $p \equiv 2 \bmod 3$. Por lo tanto $p \equiv 11 \bmod 12$. En particular, hay una infinidad de números primos congruentes a $2 \bmod 3$ y una infinidad de números primos congruentes a $3 \bmod 4$.

  • $4 \bmod 5$: Dejar que $f(x) = x^2 - 5$. Entonces $p | f(n)$ implica $\left( \frac{5}{p} \right) = 1$. De nuevo, podemos modificar la prueba del lema para demostrar que infinitamente muchos de estos primos no son congruentes a $1 \bmod 5$. Para ver esto, vamos a $p_1, ... p_n$ ser un número finito de números primos con esta propiedad, ninguno de los cuales es igual a $5 dólares, y cuenta ya sea $f(p_1 ... p_n)$ o $f(2 p_1 ... p_n)$, uno de los cuales no es congruente a $1 \bmod 5$ y que por lo tanto tiene un primer factor que no es congruente a $1 \bmod 5$. Así una infinidad de números primos p $$ satisfacer $\left( \frac{5}{p} \right) = 1$ y $p \no \equiv 1 \bmod 5$. Por la reciprocidad cuadrática esto le da $\left( \frac{p}{5} \right) = 1$, por lo tanto $p \equiv 4 \bmod 5$.

  • $3 \bmod 8$: Dejar que $f(x) = x^2 + 2$. Entonces $p | f(n)$ implica $\left( \frac{-2}{p} \right) = 1$. De nuevo, podemos modificar la prueba del lema para demostrar que infinitamente muchos de estos primos no son congruentes a $1 \bmod 8$. Para ver esto, vamos a $p_1, ... p_n$ ser un número finito de números primos con esta propiedad, todos los cuales son impares, y considerar $f(2p_1 ... p_n) \equiv 6 \bmod 8$. Así una infinidad de números primos p $$ satisfacer $\left( \frac{-2}{p} \right) = 1$ y $p \no \equiv 1 \bmod 8$. Por la reciprocidad cuadrática esto le da $p \equiv 3 \bmod 8$.

Y así sucesivamente. Por lo progresiones es posible dar este tipo de pruebas? Resulta que esto es posible para la progresión $a \bmod n$ si y sólo si $a^2 \equiv 1 \bmod$ n. Para más detalles, véase Keith Conrad Euclidiana pruebas de Dirichlet del teorema.

De manera más general, la reciprocidad cuadrática es la clave para escribir el Dedekind zeta funciones cuadrática de los campos de número de forma explícita, y tratando de generalizar esto nos lleva a clase la teoría del campo y así sucesivamente.

9voto

m0j0 Puntos 21

La ley de la reciprocidad cuadrática en cualquiera de sus formas, muestra que hay un evidente correlación entre los distintos números primos. El $(p,q) símbolo$ restringe el $(q,p) símbolo$. Esto es sorprendente en comparación con otros más "lineal" teoremas sobre congruencias o factorización única. En su 20 del siglo reformulaciones reciprocidad cuadrática es visto como un avatar de otras leyes de reciprocidad en la geometría (reciprocidad para domar símbolos) e incluso geométrica de la topología (la vinculación de los números donde los nudos de jugar el papel de números primos) y aunque estos otros teoremas son de alguna manera más fácil de probar, las analogías entre todos ellos son misteriosos.

Básicamente, si usted no está sorprendido por este teorema, que no entiendas. Históricamente fue un duro-ganado, el premio de resultado y no de un inevitable universal de descubrimiento como la fórmula de Pitágoras o de otros teoremas que fueron difíciles en su momento, pero se encontró de forma independiente en muchas épocas y lugares. Muchas culturas tienen un conocimiento básico de número teórico de los hechos sino la reciprocidad cuadrática es uno de los primeros signos de la teoría de números como una ciencia.

9voto

monksy Puntos 143

Davenport, en "El Más alto de la Aritmética" de la Sección III.5 afirma que la ley de la reciprocidad cuadrática, en su forma original como se conjeturó por Euler, fue la siguiente afirmación:

Deje que $a$ ser cualquier número natural y $p,q$ cualquiera de los números primos tales que $p\equiv q$ mod $4a$ o $p\equiv -p$ mod $4a$. Entonces $a$ es un cuadrado mod $p$ si y sólo de $a$ es un cuadrado mod $p$.

Davenport demuestra que el habitual de la reciprocidad cuadrática fórmula para impares, números primos es equivalente a esta afirmación.

Esto sugiere que lo que para mí es la más impresionante de todas las aplicaciones de la reciprocidad cuadrática: Que el primer divisores de los valores de los polinomios cuadráticos caer en el residuo de clases. Uno es inmediatamente llevado a especular que, de manera más general, el primer divisores de los valores de los polinomios tienen una estructura inteligible que es de alguna manera relacionados con el residuo de clases. Esto es realmente más sorprendente, dado que los polinomios de combinar la adición y la multiplicación de forma arbitraria.

Como sabemos, para el seguimiento de esta idea era necesario generalizar la idea de `residuo de la clase" a los anillos de enteros algebraicos, dando nacimiento a una gran parte de la moderna teoría de los números a lo largo del camino.

Tal vez para entender la importancia de la reciprocidad cuadrática, lo principal es no acumular un catálogo de aplicaciones específicas, pero para ver la reciprocidad cuadrática como un histórico de la puerta de enlace a la moderna Teoría de números.

2voto

Matt Dawdy Puntos 5479

La reciprocidad cuadrática permite que precisa de ciertas intuiciones acerca de los números primos. Más precisamente, se dice que por cada conjunto finito de $p_1, p_2, ... p_n$ de números primos y cada función $f : \{ 1, 2, ... n \} \ \ { -1, 1 \}$, existe una progresión aritmética de tal manera que cualquier prime $q$ en que la progresión de la satisface $\left( \frac{p_i}{q} \right) = f(i)$. En otras palabras, usted puede obtener los números primos se comportan localmente de forma independiente (con respecto a ser o no ser un residuo cuadrático). Usted puede utilizar esta idea para dar una prueba de que, por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, ... \sqrt{p_n})$ tiene el grado más de $\mathbb{Q}$ que usted piensa; esto se describe aquí.

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