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Christoffel símbolo de la transformación de la ley

Se sabe que la transformación de la regla cuando el cambio de coordenadas de los marcos de Christoffel símbolo es:

$$ \tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa} = {\partial \tilde x^\mu \over \partial x^\alpha} \left [ \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}{\partial x^\beta \over \partial \tilde x^\nu}{\partial x^\gamma \over \partial \tilde x^\kappa} + {\partial ^2 x^\alpha \over \partial \tilde x^\nu \partial \tilde x^\kappa} \right ]$$

Es allí cualquier manera de probar esta regla usando sólo la definición de Christoffel a través de la métrica tensor? Es decir, el uso de:

$$ \Gamma^\mu _{\nu\kappa} = \frac{1}{2}g^{\mu\lambda}\left(g_{\lambda\kappa,\nu}+g_{\nu\lambda,\kappa}-g_{\nu\kappa,\lambda} \right)$$

Todas las pruebas que he he visto, la transformación de la ley de involucrar a otro método.

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Natrium Puntos 171

Esto es muy sencillo, basta con sustituir las reglas de transformación y recoger los términos.

Aquí están algunos detalles.

La inversa de la métrica se transforma, como sabemos, por la regla: $$ g^{\mu \lambda} = \frac{\partial{\bar{x}}^\mu}{\partial{x}^\alpha} \frac{\partial{\bar{x}}^\lambda}{\partial{x}^\delta} g^{\alpha \delta} $$

Las derivadas parciales de la necesidad de algunos de los cálculos que se pueden presentar como $$ \begin{align*} g_{\lambda \kappa , \nu} & = \frac{\partial}{\partial{\bar{x}^\nu}} \Big( \frac{\partial{x^\delta}}{\partial{\bar{x}^\lambda}} \frac{\partial{x^\gamma}}{\partial{\bar{x}^\kappa}} g_{\delta \gamma} \Big) \\ &= \frac{\partial{x^\delta}}{\partial{\bar{x}^\lambda}} \frac{\partial{x^\gamma}}{\partial{\bar{x}^\kappa}} \frac{\partial{x^\beta}}{\partial{\bar{x}^\nu}} g_{\delta \gamma , \beta} + g_{\delta \gamma} \frac{\partial}{\partial{\bar{x}^\nu}} \Big( \frac{\partial{x^\delta}}{\partial{\bar{x}^\lambda}} \frac{\partial{x^\gamma}}{\partial{\bar{x}^\kappa}} \Big) \end{align*} $$

Del mismo modo, $$ g_{\nu \lambda \kappa} = \frac{\partial{x^\beta}}{\partial{\bar{x}^\nu}} \frac{\partial{x^\delta}}{\partial{\bar{x}^\lambda}} \frac{\partial{x^\gamma}}{\partial{\bar{x}^\kappa}} g_{\beta \delta \gamma} + g_{\beta \delta} \frac{\partial}{\partial{\bar{x}^\kappa}} \Big( \frac{\partial{x^\beta}}{\partial{\bar{x}^\nu}} \frac{\partial{x^\delta}}{\partial{\bar{x}^\lambda}} \Big) $$ y $$ g_{\nu \kappa \lambda} = \frac{\partial{x^\beta}}{\partial{\bar{x}^\nu}} \frac{\partial{x^\gamma}}{\partial{\bar{x}^\kappa}} \frac{\partial{x^\delta}}{\partial{\bar{x}^\lambda}} g_{\beta \gamma \delta} + g_{\beta \gamma} \frac{\partial}{\partial{\bar{x}^\lambda}} \Big( \frac{\partial{x^\beta}}{\partial{\bar{x}^\nu}} \frac{\partial{x^\gamma}}{\partial{\bar{x}^\kappa}} \Big) $$

La sustitución de estas identidades en su "definición" $$ \Gamma^\mu _{\nu\kappa} = \frac{1}{2}g^{\mu\lambda}\left(g_{\lambda\kappa\nu}+g_{\nu\lambda\kappa}-g_{\nu\kappa\lambda} \right) $$ y teniendo en cuenta que $$ \Gamma^\alpha _{\beta \gamma} = \frac{1}{2}g^{\alpha \delta}\left(g_{\delta \gamma \beta}+g_{\beta \delta \gamma} - g_{\beta \gamma \delta} \right) $$ no es difícil ahora para mostrar la transformación necesaria de la regla de los símbolos de Christoffel.

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