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Hay una solución inteligente para este elemental de probabilidad y combinatoria problema?

Mi amiga se pidió el problema siguiente en una entrevista hace un tiempo, y tiene una buena respuesta, que me lleva a creer que no hay una igual de agradable solución.

Supongamos que hay 42 bolsas, etiquetados $0$ aunque $41$. Bolsa de $i$ $i$ bolas rojas y $42-(i+1)$ de las bolas de color azul. Supongamos que tienes que elegir una de la bolsa, a continuación, tire de tres bolas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 bolas son del mismo color?

El problema puede resolverse fácilmente mediante el uso de algunas identidades básicas con los coeficientes binomiales, y la respuesta es de $1/2$. Además, si $42$ es reemplazado por $n$, la respuesta no cambia, suponiendo $n>3$. Sin embargo, este enfoque computacional oscurece cualquier estructura oculta que pueda haber. Idealmente, me gustaría que un simple y directa de la prueba de que la probabilidad de obtener RRR es la misma que la probabilidad de obtener la PRESUPUESTACIÓN basada en resultados.

Así, hay una buena solución para el problema, que podría ser explicado completamente a alguien sin el uso de papel? O no hay una buena manera de explicar esto más allá computacional coincidencia?

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sewo Puntos58

El juego puede ser reformulada de la siguiente manera: Hay una urna con 42 bolas numeradas de 0 a 41. Empezar por el dibujo y mantener una bola (esto corresponde a recoger una bolsa en su versión). La urna es, a continuación, tomar distancia, mientras que un asistente pinta de que todas las pelotas con un menor número de su primer sorteo el rojo y el resto de ellos de color azul. A continuación, se dibuja más de tres bolas y ver si tienen el mismo color.

Ahora, esto es equivalente a primer dibujo de cuatro de las bolas numeradas, a continuación, entre los cuatro elegir una al azar para ser la "bolsa" de la pelota y coloración de los otros tres, de acuerdo con la elección. Pero hacerlo de esa manera, podemos ver que el dibujo inicial de cuatro bolas es totalmente superfluo-sólo el fin de la relación entre materia, y cualquier conjunto ordenado de cuatro bolas tienen la misma estructura. Así que bien podría renunciar a la inicial dibujar y empezar con cuatro bolas numeradas 1, 2, 3, y 4. Entonces usted gana si al elegir en el segundo sorteo es 1 o 4, y la probabilidad de que, naturalmente, 1/2.

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Martin OConnor Puntos116

Aunque me gusta Henning Makholm de la solución, también puede ser interesante ver un bijection de la RRR de los resultados de la RRB resultados para la PRESUPUESTACIÓN basada en resultados los resultados a la BBB resultados. El bijection no dependen de la cantidad de bolas elegido (por ejemplo, el proceso da RRRR a RRRB a RRBB a RBBB a BBBB en el caso de las cuatro bolas), y lo que demuestra que si elegimos $k$ pelotas en lugar de $3$ de cada bolsa, la probabilidad de que la totalidad de los $k$ bolas de ser del mismo color es de $\frac{2}{k+1}$.

Para la bolsa de $i$, el número de bolas rojas $1$ por $i$ y las bolas de color azul $1$ través $n-(i+1)$. Entonces, para cualquier resultado en cualquier bolsa, marque una X en los tres bolas elegido. Para una RRR resultado, tomar la mayor numerado bola de color rojo con una X, la pintura es (retener el X) y todos los números más altos bolas de color rojo y azul, y volver a numerar por que son ahora la mayor numerado las bolas de color azul, preservar el orden interno de las bolas de conmutación. Por último, cambiar la etiqueta de la bolsa en cuenta el nuevo número de bolas rojas. Esto le da un mapeo del conjunto de RRR resultados para el conjunto de la RRB resultados. Por otra parte, la asignación es reversible, ya que para cualquier RRB resultado, usted puede tomar la bola azul con una X, la pintura y todos los números más altos bolas de color azul rojo, volver a numerar por que son ahora la mayor numerado bolas rojas, y cambiar la etiqueta de la bolsa en cuenta el nuevo número de bolas rojas. Así que tenemos un bijection entre el conjunto de RRR resultados y el conjunto de la RRB resultados.

A continuación, puede aplicar este proceso de nuevo para cualquier RRB resultado, la pintura de la más alta numerada bola de color rojo con una X y y todos los números más altos bolas rojas azul. Esto le da un bijection entre la RRB resultados y la PRESUPUESTACIÓN basada en resultados los resultados. Aplica de nuevo da un bijection entre la PRESUPUESTACIÓN de los resultados y la BBB resultados. Así, estos cuatro conjuntos tienen el mismo tamaño, y por lo que la probabilidad de que se obtenga una RRR o BBB resultado es $\frac{1}{2}$.

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