$\sqrt{11}$ como número racional dentro de$10^{-4}$?

Question

El uso de fracciones continuas para encontrar un número racional que se aproxima $\sqrt{11}$a dentro de $10^{−4}$.

Yo sé cómo resolver el problema de la continuación de las fracciones como este: $$\sqrt{11}=3+x$$ $$11=9+6x+x^2$$ $$11=9+(6+x)x$$ $$2=x(6+x)$$ $$x=\frac{2}{6+x}=\frac{1}{3+\frac{x}2}=\frac{1}{3+\frac{1}{6+x}}$$

por lo tanto, $$\sqrt{11}=[3;\overline{3,6}]$$

¿Cómo puedo averiguar dónde terminar la fracción para obtener el cierre de valor con un error menor que el límite antes mencionado

Answer 1

Teorema: Vamos a $p_k/q_k$ es el $k$-th convergente de un real positivo $x$ entonces

$$ \Bigg|x - \frac{p_k}{q_k}\Bigg| \le \frac{1}{q_k q_{k+1}} < \frac{1}{q_k^2} $$

Así que para aproximado en $10^{-4}$, $q_k > 100$ suficientes no siempre es necesario, porque en general se puede obtener la misma precisión que con un menor denominador si $q_k q_{k+1} > 10^4$.

Answer 2

Es un hecho que si $m/n$ es convergente en la expansión de fracción continua de $x$ , y $m$ y $n$ son primos, entonces $| x - m/n | < 1/n^2$ . Esto le permite enlazar el error en su aproximación.