¿Cómo se demuestra la tesis contraria al teorema de la intersección de Cantor?

Question

Se me dio una demostración en clase sobre cómo demostrarlo en una dirección, pero me preguntaba: ¿hay alguna forma de demostrar que si la intersección de una secuencia decreciente de conjuntos cerrados con diámetros que tienden a cero no es vacía, entonces el espacio métrico es completo?

Answer 1

Tomemos una secuencia de Cauchy $\langle a_n\rangle $, y use la propiedad de intersección de Cantor con los conjuntos $\overline {A_n}$ donde $$A_n=\{a_n,a_{n+1},\dots\}$$

---

ADICIONAR En primer lugar, tenemos que usar que para cualquier conjunto $A$, $$\operatorname{diam}A=\operatorname{diam}\bar A$$

Para cada $\epsilon >0$ existe un $N$ tal que cuando $p,n>N$ tenemos $$|a_{n+p}-a_n|<\epsilon$$

Así que $\operatorname{diam}A=\operatorname{diam}\bar A\to 0$. Por Cantor, $$\exists !x\in\bigcap_{n=1}^\infty \overline{A_n}$$

Tomamos $\epsilon >0$. Queremos mostrar que existe un $N$ tal que $$|a_n-x|<\epsilon$$ siempre que $n>N$.

Tomamos $N$ suficientemente grande para que $m>n>N$ se cumpla $$\operatorname{diam}\overline {A_m}<\operatorname{diam}\overline {A_n}<\frac\epsilon 2$$

Entonces, si $n>N$, $$|x-a_n|\leq |x-a_m|+|a_m-a_n|<\epsilon \;\; \blacktriangle$$

Answer 2

Sea $\{x_n\}$ una sucesión de Cauchy, y para cada $n$ sea $i(n)$ el mínimo $n$ garantizado por la definición de una sucesión de Cauchy tal que $k,m\geq i(n)$ implica $d(x_k,x_m)<\frac{1}{n}$.

Ahora sea $C_n$ la bola cerrada $\overline B(x_{i(n)},\frac{2}{n})$. Claramente, esta es una secuencia decreciente de conjuntos cerrados.

Si su intersección no es vacía, entonces hay algún $x$ tal que $\lim x_n=x$. Por lo tanto, toda sucesión de Cauchy es convergente.