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Una diferencia persistente

He aquí un divertido problema de matemáticas. Yo no era capaz de conseguir - estoy curioso lo que ustedes tienen que decir.

Elija un número de cuatro dígitos, cuyos dígitos no son todos iguales. De sus dígitos forman el menor número de cuatro dígitos $m$, y la más grande, $M$. Encontrar $(M-m)$. Seguir repitiendo el procedimiento. (Tratar, decir $234$ as $0234$.) Finalmente llegarás a $6,174$ - permamently, ya que:

$7,641-1,467=6,174.$

Por ejemplo, comience con $4,818$:

$8,841-1,488=7,353;$

$7,533-3,357=4,176;$

$7,641-1,467=6,174;$ y así sucesivamente.

Se puede demostrar que siempre llegan a $6,174$?

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Dan Rust Puntos 18227

Esto se conoce como la constante de Kaprekar. Podemos particionar el conjunto de posibles cuatro dígitos combinaciones en aquellos con la misma diferencia. Tenga en cuenta que debido a $M$ e $m$ comparten los mismos dígitos, que son congruentes modulo $9$, por lo que su diferencia es un múltiplo de $9$, por lo que el número de particiones que tenemos que considerar es menor que uno podría imaginar.

De hecho, el conjunto de cuatro dígitos enteros que puede ser escrito como $M-m$ es sólo en el orden de $50$. Así, estas particiones pueden entonces ser fácilmente enumeran y se coloca en un diagrama parecido al de debajo de encontrar en Wikipedia. Es un lugar 'fuerza bruta' enfoque, pero funciona.

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