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¿Por qué$\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|f(z)-\overline{f(z_0)}|}\leq\frac{|z-z_0|}{|z-\bar{z}_0|}$ cuando$\mathrm{Im}z>0\implies\mathrm{Im}f(z)\geq 0$?

Estoy tratando de comprender la siguiente desigualdad. Deje $f$ ser holomorphic, de tal manera que $\mathrm{Im}f(z)\geq 0$ al $\mathrm{Im}(z)>0$. ¿Por qué es que $$ \displaystyle\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|f(z)-\overline{f(z_0)}|}\leq\frac{|z-z_0|}{|z-\bar{z}_0|}? $$

Desde $f$ mapas de la mitad superior del plano a sí mismo, yo estaba pensando en el mapeo del plano a la unidad de disco por algunos lineal fraccional, y, a continuación, intente utilizar Schwarz' lema de alguna manera. No he sido capaz de ejecutar un buen plan.

¿Alguien tiene alguna sugerencias y/o soluciones a mostrar esta desigualdad? Gracias.

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Sahas Katta Puntos 141

Supongo que te refieres a esto se sostenga por $\Im(z) \geq 0$ y también que $\Im(z_0) > 0$ e $\Im(f(z)) > 0$ para todos los $z \in \mathbb{R}$. Las funciones

$$ P(z) = \frac{f(z)-f(z_0)}{f(z)-\overline{f(z_0)}} $$

y

$$ Q(z) = \frac{z-z_0}{z-\overline{z_0}} $$

son holomorphic en la cerrada de la mitad superior del plano y satisfacer:

  • $P(z_0)=Q(z_0)=0$.
  • Si $\Im(z) \geq 0$ entonces $|P(z)| \leq 1$ e $|Q(z)| \leq 1$.

Por otra parte, $Q$ tiene un único cero simple en $z_0$ e si $z \in \mathbb{R}$ entonces $|Q(z)|=1$. Por lo tanto

$$ \frac{P(z)}{Q(z)} $$

es holomorphic en la cerrada de la mitad superior del plano y para todos los $z \in \mathbb{R}$

$$ \left| \frac{P(z)}{Q(z)} \right| = |P(z)| \leq 1. $$

Por el máximo módulo principio de la igualdad se debe mantener en todos los de la mitad superior del plano. En otras palabras, $|P(z)| \leq |Q(z)|$ para todos los $z$ con $\Im(z) \geq 0$.

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