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Descomposición polar de una matriz general.

¿Cómo puedo calcular la descomposición polar para una matriz general? Por ejemplo para este sencillo:

$$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end {pmatrix} $$

Sé cómo calcularlo para una matriz con números, a través de valores propios, vectores propios. He estado buscando la respuesta en Internet por un tiempo pero no la entiendo completamente.

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Saketh Malyala Puntos 118

Lo primero vamos a $A = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=QS$.

Entonces, tenemos $A^{T}A=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2\end{pmatrix}$.

El Autovalor(s) de esta matriz es $a^2+b^2$, a veces son diferentes, pero no demasiado difícil de manejar.

Los vectores propios se $\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}$.

Entonces podemos escribir $A^TA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}$.

El primer factor es sólo de los vectores propios, la segunda es una matriz diagonal que consiste cada uno de los correspondientes autovalores, y la tercera es la inversa de la primera.

Ahora podemos definir una segunda matriz $S=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}$.

La única diferencia aquí es que $S$ está construido a partir de los valores propios, que son básicamente las raíces cuadradas de los valores propios.

Tenemos que $S=\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}$.

También tenemos que $Q=AS^{-1}= \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{pmatrix}$.

Así que, finalmente, tenemos la descomposición polar: $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}$

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cmk Puntos 101

Presumiblemente, $A$ es invertible (de lo contrario, sería la matriz cero). Yo también voy a suponer que $A$ real entradas (si no, cambiar todas las apariciones de $A^T$ a $A^*$). No voy a discutir la prueba de la descomposición polar, pero la consulta de la prueba le dirá que las matrices que doy son los correctos, y que tenga las propiedades deseadas (usted puede verificar esto sin demasiado trabajo).

Queremos encontrar la factorización $A=UP,$ donde $U$ es ortogonal (unitario) y $P$ es positivo semi-definida y simétrica (Hermitian). Calcular $(A^TA)^{1/2},$ y el conjunto de este ser $P$. Luego, simplemente definen $U$ por $U=AP^{-1}.$ Vamos a hablar acerca de cómo encontrar la raíz cuadrada. Desde $A$ es invertible, $A^TA$ es positiva definida, por lo que podemos definir la raíz cuadrada de (todos los valores propios son positivos; tenga en cuenta que sólo positiva semi-precisión es necesario). Así, podemos diagonalize $A^TA,$ llegar la eigendecomposition $A^TA=S\Lambda S^{-1}.$ Ahora, la raíz cuadrada se define como $(A^TA)^{1/2}=S\Lambda^{1/2}S^{-1}$, donde $\Lambda^{1/2}=\text{diag}\left(\sqrt{\lambda_j}\right).$

Por lo tanto, aquí están los pasos:

  1. Obtener un eigendecomposition de $A^TA$.
  2. Encontrar la raíz cuadrada de $A^TA$, y definir este ser $P$.
  3. Set $U=AP^{-1}.$

Esto nos da nuestra descomposición $A=UP.$ podemos hacer esto de una matriz de la forma, y os animo a seguir estos pasos y ver lo que se obtiene. No necesitamos "números", como es suficientemente simple como para que un $2\times 2$.

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amd Puntos 2503

Otras respuestas describir bastante estándar, un método de búsqueda de la descomposición polar de una matriz invertible $M$ por diagonalizing $M^*M$. De manera más general, tanto polares descomposición de una matriz se puede calcular directamente a partir de su enfermedad vesicular porcina: Para una matriz cuadrada $M$, tenemos $A=U\Sigma V^*$, con $\Sigma$ diagonal y positivo-semidefinite, mientras que $U$ e $V$ son unitarias (ortogonal si $M$ es real). Para obtener polar descomposiciones de esto, simplemente inserte otro par de $U$'s o $V$s': $$M = (U\Sigma U^*)(UV^*) = (UV^*)(V\Sigma V^*).$$

Tenga en cuenta que para las matrices de la forma específica en su pregunta, la descomposición polar puede determinarse fácilmente a partir de consideraciones geométricas. Suponiendo que estamos hablando de una verdadera matrices, estas matrices son isomorfos a los números complejos: la matriz $M=\small{\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$ corresponde a $z=a+bi=re^{i\theta}$. La descomposición polar de un $2\times2$ real de la matriz de factores en una escala a lo largo de un par de direcciones ortogonales seguida de una rotación. La multiplicación por $z$ es una combinación de uniforme escala por $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y una rotación a través de $\theta$, por lo que inmediatamente puede factor de $M$ en $$\left(\frac1{\sqrt{a^2+b^2}}M\right) \begin{bmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{bmatrix}.$$ Indeed, the polar decomposition of $M$ here is a direct analog of the decomposition of $a+bi$ into the product of the nonnegative real number $r$ and the unit complex number $e^{i\theta}$.

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