Un punto de partida para este tipo de problemas es del teorema de Lagrange (en teoría de grupos), lo que nos indica que el orden de cualquier subgrupo de un grupo finito divide al orden del grupo en sí mismo, y por lo tanto el orden de cualquier elemento (el orden en el subgrupo cíclico genera) divide el orden de un grupo finito que lo contienen. A priori, si sólo se sabía que el grupo fue abelian de orden $2016$, entonces, de hecho, nos gustaría no saber si tenía un factor de $C_9$ o meramente $C_3$.
Pero aquí sabemos algo más: nuestro grupo $\mathbb Z/ 2016\mathbb Z$ es cíclico de orden $2016$. Dado que el generador de este cíclica (abelian) grupo de es $1$, tiene múltiplos que tienen el fin de cualquier divisor de $2016$ que te gusta. Debido a esto, el Fundamental Thm. de Abelian Grupos es satisfecha a través de la representación:
$$ \mathbb Z/ 2016\mathbb Z \cong \mathbb Z/32\mathbb Z \times \mathbb Z/ 9\mathbb Z \times \mathbb Z/7\mathbb Z $$
y el anillo de la estructura en $\mathbb Z_{2016}$ tiene que estar de acuerdo (porque aquí el grupo abelian con su natural $\mathbb Z$-estructura del módulo tiene una constante de "multiplicación" de la operación).
Así que cuando nos preguntamos acerca de la multiplicación de los subgrupos, los elementos que son coprime a $2016$ son precisamente los coprime a su primer factores de potencia, $32, 9$ e $7$. Así, uno podría mostrar por el Teorema del Resto Chino:
$$ \mathbb Z_{2016}^* \cong \mathbb Z_{32}^* \times \mathbb Z_9^* \times \mathbb Z_7^* $$
I. e. lo coprime residuos de elegir con respecto a $32,9,7$ , respectivamente, puede ser alcanzado por una elección de residuo con respecto a $2016$ (y un elemento que necesariamente va a ser coprime a $2016$). Por el contrario, cualquier elemento coprime a $2016$ le dará coprime residuos con respecto a $32,9,7$ también.
Regresando al problema planteado en el título de la Pregunta, ¿cómo puede esta información nos ayudará a encontrar "el número de soluciones" a $x^{10}\equiv 1 \bmod 2016$ ?
Esta es una ecuación polinómica, y lo que se requiere es que un elemento de grupo tiene una orden que divide $10$. Así, por ejemplo, $x=1$ (fin de $1$) y $x=-1$ (fin de $2$) son soluciones que se encuentran "por inspección". Teniendo en cuenta que el orden de un elemento debe dividir el orden del grupo nos motiva a examinar la estructura de un grupo multiplicativo de los números enteros modulo n y de cómo es de grande un grupo es.
Debido a que la ecuación es el polinomio, la estructura de:
$$ \mathbb Z_{2016}^* \cong \mathbb Z_{32}^* \times \mathbb Z_9^* \times \mathbb Z_7^* $$
nos lleva a observar que un elemento de $\mathbb Z_{2016}^*$ es esencialmente un triple de "coordenadas", uno de cada sumando directo. El tamaño de todo el grupo es el producto de los tamaños de grupo de estos factores, y la fórmula general $|\mathbb Z_n^*| = \phi(n)$ basado en phi de Euler-función resulta especialmente fácil de calcular, cuando los factores de potencia principal de pedidos son:
$$ \phi(32) = 16, \phi(9) = 6, \phi(7) = 6 $$
Una solución de $x\in \mathbb Z_{2016}^*$ sería, por tanto, corresponden a un triple de $(a,b,c)$ de soluciones a la misma ecuación polinómica para el respectivo grupo de factores. Tenga en cuenta que ninguno de estos subgrupo órdenes son divisibles por $5$, así que en realidad todo lo que estamos buscando son los elementos de estos factores de orden $1$ o $2$.
Un elemento de orden $1$ es simplemente el (multiplicativo) elemento de identidad en cada subgrupo. La interesante tipos de soluciones de orden $2$.
Ahora se ha sabido desde Gauss cuál de estos grupos multiplicativos modulo entero $n$ son cíclicos, es decir, $n = 1,2,4,p^k,$ e $2p^k$ primer $p$ y entero positivo de alimentación de $k$. Así, tanto la $\mathbb Z_9^*$ e $\mathbb Z_7^*$ son grupos cíclicos de orden seis. Encontrar un generador para cada uno de estos (un elemento de orden multiplicativo seis) proporcionará los elementos de orden $1$ e $2$ (levantando el generador a la sexta y tercera potencia, respectivamente). Pero ya hemos encontrado por la inspección, $\pm 1$ en el respectivo modulo grupos.
Así que la primera "coordinar" en $\mathbb Z_{32}^*$ será el más interesante de resolver. Este es un grupo abelian de orden $16$, pero no es un grupo cíclico. En su lugar se encuentra, como se explica en el artículo de la Wikipedia enlazado más arriba, que, en general, las potencias de dos dan a un producto de dos grupos cíclicos:
$$ \mathbb Z_{2^{k+1}}^* \cong C_2 \times C_{2^{k-1}} $$
En nuestro caso específico, $\mathbb Z_{32}^* \cong C_2 \times C_8$.
Si sólo nos interesan (como el título de pedido) en "el número de soluciones", entonces basta decir $\mathbb Z_{32}^*$ tiene cuatro elementos de orden en la mayoría de las $2$. Poner toda la información, tenemos cuatro elección para la primera "coordinar" y dos opciones para el segundo y tercer lugar. Por lo tanto $x^{10}\equiv 1 \bmod 2016$ tienen $4\cdot 2\cdot 2 = 16$ soluciones distintas.
Aunque se omite la determinación explícita de estos, el Lector interesado se anima saber que el trabajo en $\mathbb Z_{32}^*$ es limitado encontrar cuatro soluciones, de las cuales las dos $\pm 1$ son conocidos ya.