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$f (x) \in\mathbb Z[x]$ ser tal que $f$ es una perfecta $k$-th poder en la toma valores enteros positivos . Es $f$ perfecto $k$-th poder?

Deje $f(x)\in\mathbb Z[x]$ e integer $k>1$ tal que $f(n)$ es una perfecta $k$-ésima potencia para cada entero positivo $n$. Es cierto que hay un $g(x)\in\mathbb Z[x]$ tal que $f(x)=\left(g(x)\right)^k$ ?

Si no , entonces ¿el más fuerte de la asunción , $f(n)$ es una perfecta $k$-ésima potencia para cada entero $n$ implica que hay un $g(x)\in\mathbb Z[x]$ tal que $f(x)=\left(g(x)\right)^k$ ?

Por favor ayuda , gracias de antemano .

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Kelenner Puntos 9148

Tal vez existe una simple respuesta.(Yo creo que lo que sigue es en Poli-Szego, pero no estoy seguro).

Hemos de trabajar por primera vez en $\mathbb{Q}[x]$.

1) en primer lugar, imaginemos que tenemos $f(x)=c^k x^{mk}+\cdots$. Definir $\displaystyle h_1(x)=\frac{f(x)}{c^k x^{mk}}=1+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_{mk}}{x^{mk}}$. Tenemos que todas las $a_k$ es $\mathbb{Q}$.

Poner ahora $\displaystyle h(x)=\sqrt[k]{h_1(x)}=1+\frac{b_1}{x}+\cdots+\frac{b_{j}}{x^{j}}+\cdots$. $h(x)$ es una potencia de la serie en los poderes de la $1/x$, de nuevo con coeficientes en $\mathbb{Q}$, convergiendo para un gran $|x|$.

Poner $$g(x)=cx^{m}h(x)=\sum_{j=0}^{m}cb_jx^{m-j}+\sum_{j\geq m+1}\frac{cb_j}{x^{j-m}}=P(x)+Q(x)$$

Tenga en cuenta que $Q(x)\to 0$ si $|x|\to +\infty$.

Ahora vamos a $x=n$ un entero grande. Como $f(n)=g(n)^k$ e $g(n)\in\mathbb{R}$, obtenemos que $g(n)\in \mathbb{Z}$. Deje $d$ en $\mathbb{N}$ tal que $dP(x)\in \mathbb{Z}[x]$. Tenemos por lo tanto $dg(n)=dP(n)+dQ(n)$, por lo tanto $dQ(n)\in \mathbb{Z}$. Si $n$ es lo suficientemente grande, tenemos $d|Q(n)|<1$, por lo tanto $Q(n)=0$ e $g(n)=P(n)$. Tenemos $f(n)=(P(n))^k$ grandes $n$, y, por tanto,$f(x)=(P(x))^k$.

2) Ahora vamos a suponer que sólo $f(x)=c x^m+\cdots$. Elija $q_1,\cdots, q_k$ grandes enteros tales que para todos los $i$ $f(x+q_i)$ es el primer (en $\mathbb{Q}[x]$) a $\prod _{j\not =i}f(x+q_j)$. A continuación, $f_1(x)=\prod f(x+q_i)$ comprobar la hipótesis, y es de la forma $f_1(x)=c^kx^{mk}+\cdots$. Por lo anterior, $f_1$ es el $k$-ésima potencia de un polinomio. A continuación, cada una de las $f(x+q_j)$ es también, hasta una constante, de la misma forma. Por lo tanto, existe una constante $d$, y un polinomio $H$, de tal manera que $f(x)=d(H(x))^k$. Tomar para $x$ un entero tal que $H(x)\not =0$, la hipótesis muestran que $d$ es el $k$-ésima potencia de una manera racional, y finalmente, podemos escribir $f(x)=(P(x))^k$, con $P\in \mathbb{Q}[x]$.

3) Se siguen para mostrar que $P\in \mathbb{Z}[x]$. Existe $d\in \mathbb{N}$ tal que $dP(x)=\sum c_j x^j=P_1(x)$, con la $c_j \in \mathbb{Z}$ relativamente primos. La igualdad de $d^kf(x)=(P_1(x))^k$ muestran que $d=1$, y hemos terminado.

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user30382 Puntos 48

Deje $f\in\Bbb{Z}[x]$ con raíces $\alpha_1,\ldots,\alpha_d\in\Bbb{C}$ y multiplicidades $m_1,\ldots,m_d$, por lo que $$f=c\cdot\prod_{i=1}^d(x-\alpha_i)^{m_i},$$ para algunos $c\in\Bbb{Z}$. Para cada raíz hay una infinidad de números primos que dividen completamente en $\Bbb{Q}(\alpha_i)$. Elegir un primer $p_i$ por cada $\alpha_i$, de tal manera que todos los $p_i$ es coprime a $c$ e a $\alpha_i-\alpha_j$ para todos los distintos $i$ e $j$. Entonces por el teorema del resto Chino existe un entero $n$ tal que $$n\equiv\alpha_i\mod p_i\qquad\text{ and }\qquad n\not\equiv\alpha_i\mod p_i^2.$$ De esta manera, el $p_i$-ádico de valoración de $f(n)$ es precisamente la multiplicidad $m_i$ de % de $\alpha_i$ por cada $i$. Si $f(n)$ es una perfecta $k$-ésima potencia de cada una de las $m_i$ debe ser un múltiplo de $k$, decir $m_i=m_i'k$, por lo que $$f=c\prod_{i=1}^d(x-\alpha_i)^{m_i'k}=c\left(\prod_{i=1}^d(x-\alpha_i)^{m_i'}\right)^k,$$ y debido a que $f(n)$ es una perfecta $k$-ésima potencia también la $c$ es una perfecta $k$-ésima potencia, decir $c=c'^k$. Esto demuestra que $f$ es $k$-ésima potencia de algunos $g\in\Bbb{C}[x]$, y, por supuesto, $g\in\Bbb{Z}[x]$ porque $g^k\in\Bbb{Z}[x]$.

Por lo tanto, si $f(n)$ es una perfecta $k$-ésima potencia para algunos, $n$ ,, a continuación, $f=g^k$ para algunos $g\in\Bbb{Z}[x]$.

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orangeskid Puntos 13528

SUGERENCIA: Vamos a demostrar que la función de $ x \mapsto h(x) = \sqrt[k]{f(x)}$ es un polinomio con coeficientes racionales. Primero, toma sólo valores naturales de $n$ lo suficientemente grande. En segundo lugar, llevar la división de la diferencia de $\Delta^N h(x) \to 0$ para $x \to \infty$, siempre que $N > \frac{\deg f}{k}$. Ya que los valores de la secuencia de $\Delta^N h(n)$ son enteros para lo suficientemente grande como $n$, se deduce que el $\Delta^N h(n)=0$ de las grandes suficientemente $n$. De ello se deduce que existe un polinomio con coeficientes racionales que da $h(n)$ de las grandes suficientemente $n$ ( así, por todas las $x$).

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