La secuencia de Fibonacci y otras secuencias metálicas surgieron en forma de fracciones

Question

La secuencia de Fibonacci $P_n = P_{n-1}+P_{n-2}$ es $$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, 610, \cdots $$ Aprendí que la fracción $1/89$ contiene todos los números de la secuencia. $$ \begin {align} \frac {1}{89}&= 0. \overline {01123595505617977528089887640449438202247191~} \\ &=0.01+0.001+0.0002+0.00003+0.000005+0.0000008+~ \\ &~0.00000013+0.000000021+0.0000000034+0.00000000055+ ~ \\ &~0.000000000089+0.0000000000144+0.00000000000233+~ \\ &~0.000000000000377+0.0000000000000610+ \cdots \end {align}$$ donde la sobre línea representa el ciclo repetido.

Regla del número de ceros (no estoy seguro de si esto es correcto o no):

No añada un cero al siguiente número si es "más pequeño" que el anterior. Para comparar números, sólo mantenemos el primer dígito y hacemos el resto de los dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, $13$ en este caso es "más pequeño" que $8$ porque $1.3<8$ así que no añadimos ningún cero para $13$ -- el mismo $7$ ceros delante de ambos $13$ y $8$ . Por otro lado, si el número de la secuencia es mayor o igual al anterior, añadiríamos un cero antes del número mayor. Por ejemplo, $3>2$ así que añadimos un cero delante de $3$ haciendo $5$ ceros delante de $3$ y $4$ ceros delante de $2$ .

Creo que el regla del número de ceros se aplica a todas las secuencias metálicas. Si no, asumamos que es por ahora y sigamos leyendo.

Entonces decidí explorar más a fondo otras secuencias metálicas. Vamos a definir la $n^{th}$ Secuencia metálica $$ \sigma_n : P_n = nP_{n-1}+P_{n-2}$$ En este post, la secuencia de Fibonacci es $ \sigma_1 $ . La siguiente secuencia metálica $ \sigma_2 $ o la secuencia de plata, es $$ \sigma_2 : P_n = 2P_{n-1}+P_{n-2}$$ $$1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741,13860,33461,80782, \cdots $$ Supuse que $1/79$ contendría todos los números en $ \sigma_2 $ y parece que estoy en lo cierto en cuanto al valor numérico, aunque no estoy seguro de cómo probar la relación. $$ \begin {align} \frac {1}{79}&=0. \overline {0126582278481} \\ &= 0.01+0.002+0.005+0.00012+0.000029+0.0000070+~ \\ &~0.00000169+0.000000408+0.0000000985+~ \\ &~0.00000002378+0.000000005741+0.000000001386+~ \\ &~0.00000000033461+0.000000000080782+ \cdots \end {align}$$

Presentaré dos casos más para que se hagan una idea del patrón.

Aquí está $ \sigma_3 $ o secuencia de cobre: $$ \sigma_3 : P_n = 3P_{n-1}+P_{n-2}$$ $$1,3,10,33,109,360,1189,3927,12970,42837,141481,467280$$ $$ \begin {align} \frac {1}{69}&=0. \overline {01449275362} \\ &= 0.01+0.003+0.0010+0.00033+0.000109+0.0000360+~ \\ &~0.00001189+0.000003927+0.0000012970+~ \\ &~0.00000042837+0.000000141481+0.000000046728+~ \cdots \end {align}$$

Por último, presentaré el caso de $ \sigma_ {9}$ : $$ \sigma_9 : P_n = 9P_{n-1}+P_{n-2}$$ $$1,9,82,747,6805,61992,564733,5144589,46866034,426938895,3889316089, \cdots $$ $$ \begin {align} \frac {1}{9}&=0. \overline {1} \\ &=0.01+0.009+0.0082+0.00747+0.006805+0.0061992+~ \\ &~0.00564733+0.005144589+0.0046866034+0.00426938895+~ \\ &~0.003889316089+ \cdots \end {align}$$ Para $ \sigma_9 $ Sé que si sólo escribes estos números en la calculadora, el valor no está ni mucho menos cerca de $1/9$ porque la serie se acerca $1/9$ muy lentamente, así que tenemos que teclear muchos números para acercar el valor a $1/9$ .

Ahora, tengo dos preguntas a mano:

$1)$ Cómo probar que una fracción, como $1/89,~1/79,~1/69, \cdots ,~1/9$ es la suma de todos los números de la secuencia metálica correspondiente?

$2)$ Estoy tratando de encontrar una fracción que contenga todos los números en $ \sigma_ {10}$ pero sin éxito. ¿Hay alguna otra fracción que contenga todos los números de la secuencia metálica $ \sigma_ {10}$ ? Tal vez también fracciones para $ \sigma_ {11},~ \sigma_ {12}$ y así sucesivamente?

Answer 1

Respuesta a la pregunta 1) :

La función generadora de los números de Fibonacci $F_n$ se sabe que

$$\dfrac{1}{1-(x+x^2)}=\underbrace{1}_{F_0}+\underbrace{1}_{F_1}x+\underbrace{2}_{F_2}x^2+\underbrace{3}_{F_3}x^3+\underbrace{5}_{F_4}x^4+\cdots+F_nx^n+...$$

En $x=0.1$ da :

$$\dfrac{1}{1-0.11}=1+1 \times 0.1+2 \times 0.01+3 \times 0.001+5 \times 0.0001+\cdots+F_n 0.1^n+...$$

justificando la igualdad del LHS y RHS de su primera identidad (multiplicada por $100$ ).

El mismo proceso para las demás secuencias metálicas.

Por ejemplo, las funciones generadoras de las secuencias de plata y bronce son resp.

$$\dfrac{1}{1-(2x+x^2)} \ \ \ \text{and} \ \ \ \dfrac{1}{1-(3x+x^2)}$$

Una generalización interesante en este sentido: el reciente artículo https://arxiv.org/pdf/1901.02619.pdf

Observación: se encuentra también esta función generadora para los números de Fibonacci:

$$\dfrac{x}{1-x-x^2}$$

si se adopta la convención "desplazado por uno":

$$F_0=0, \ \ F_1=1, \ \ , F_2=1, \ \ F_3=2, \cdots$$

(esta es la convención adoptada en OEIS )

Answer 2

Siguiendo con la respuesta de Jean Marie, la secuencia metálica $$M_{n,k}=nM_{n,k-1}+M_{n,k-2}$$ Tiene la función generadora $$G_n(x)=M_{n,0}+M_{n,1}x+M_{n,2}x^2+\dots$$ Tal que así $$xG_n(x)=M_{n,0}x+M_{n,1}x^2+M_{n,2}x^3+\dots$$ $$nG_n(x)=nM_{n,0}+nM_{n,1}x+nM_{n,2}x^2+\dots$$ $$(x+n)G_n(x)=nM_{n,0}+(nM_{n,1}+M_{n,0})x+(nM_{n,2}+M_{n,1})x^2+\dots$$ $$(x+n)G_n(x)=nM_{n,0}+M_{n,2}x+M_{n,3}x^2+\dots$$ $$(x+n)G_n(x)=nM_{n,0}+\frac{G_n(x)-M_{n,0}}x-M_{n,1}$$ $$x(x+n)G_n(x)=nM_{n,0}x+G_n(x)-M_{n,0}-M_{n,1}x$$ $$(x(x+n)-1)G_n(x)=(nM_{n,0}-M_{n,1})x-M_{n,0}$$ $$G_n(x)=\frac{M_{n,0}+(M_{n,1}-nM_{n,0})x}{1-x(x+n)}$$ Pero tenemos los valores de $M_{n,0}=0$ y $M_{n,1}=1$ por lo que se convierte en $$G_n(x)=\frac{x}{1-x(x+n)}$$ Si dejamos que $x=\frac1{10}$ obtenemos la representación fraccionaria mencionada, $$G_n\left(\frac1{10}\right)=\frac{1/10}{1-(1/10+n)/10}=\frac{10}{99-10n}$$ Lo que da valores fraccionarios de $$\frac{10}{89},\frac{10}{79},\frac{10}{69},\frac{10}{59},\dots$$ y cada una de ellas contiene aún la secuencia metálica correspondiente como, por ejemplo, $$\frac{10}{89}=0.\overline{11235955056179775280898876404494382022471910}$$