¿Qué tan independientes son los menores de una matriz?

Question

Deje $M$ ser $p\times q$ matriz (es decir, $p\leq q$) con los coeficientes de $m_{i,j}$. Ha $pq$ entradas, y ${q\choose p}$ menores de tamaño máximo $p\times p$, lo que nos da un mapa de $$\varphi_{p,q}: \Bbb Z^{pq}\to \Bbb Z^{q\choose p}$$

Estoy interesado en el surjectivity de este mapa. Es fácil ver que $\varphi_{3,4}$, por ejemplo, es surjective, lo que significa que podemos ajustar los coeficientes de una $3\times 4$ matriz de darle a cada uno de los $3\times 3$ menores que un valor prescrito.

En la mayoría de los casos, ${q\choose p}$ es mucho mayor que $pq$, por lo que se siente raro que $\varphi$ será surjective. Pero lo que si tenemos sólo una cantidad relativamente pequeña de los menores de edad?

Pregunta 1: ¿Para qué valores de $p,q,r\in\Bbb N$ hay un mapa de $f:\Bbb Z^{q\choose p}\to \Bbb Z^r$ definido por mantener sólo algunos $r$ coordenadas, de tal manera que $f\circ \varphi_{p,q}$ es surjective?

Pregunta 2 (menos general, pero la que más me interesa) : Tome $p=3, q=6$ y olvidarse de los tres menores de edad que corresponden a columnas $(1, 4, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 6)$. Es el mapa resultante $\Bbb Z^{18}\to \Bbb Z^{17}$ surjective?

Answer 1

Gracias a un comentario de @ancientmathematician, yo era capaz de enfocar mi investigación y para contestar la Pregunta 2: la $\Bbb Z^{18}\to \Bbb Z^{17}$ mapa de la cuestión no es surjective. Sin embargo, el camino a la respuesta de los rendimientos de nuevas e interesantes preguntas. En primer lugar, aquí está la prueba.

Teorema: una colección ordenada de $q\choose p$ enteros es el conjunto de (ordenados lexicográficamente) máxima de los menores de edad de algunos $p\times q$ matriz si y sólo si estos números satisfacer el llamado Plücker ecuaciones.

Contexto: ver estas notas de la conferencia de Alejandro Yong.

Prueba: ver Schubert Cálculo por Kleiman y Lakso.

Plücker ecuaciones para $(p,q)=(3,6)$ puede mostrar escribiendo Grassmannian(2,5) en Macaulay2 (la $2$ e $5$ provienen de las razones). Aquí está una de estas ecuaciones: $$p_{2,3,4} p_{1,3,6} -p_{1,3,4}p_{2,3,6} +p_{1,2,3}p_{3,4,6}$$ Este, y otros cinco, involucrar sólo a los determinantes que quería mantener (ninguno de $p_{1,4,5}, p_{2,4,6}, p_{3,5,6}$ está involucrado). Por lo tanto el resultado: la $\Bbb Z^{18}\to \Bbb Z^{17}$ mapa de la cuestión no es surjective.

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Nuevo problema como lo prometido: ¿y si nos olvidamos de suficiente menores de edad que cada uno de los Plücker ecuaciones implica, al menos, uno de ellos (básicamente haciendo que el argumento de arriba fallan)? No podemos concluir de inmediato, pero ¿qué herramientas de un solo uso para llegar a la conclusión? He estado pensando en el uso de bases de Groebner, pero no parece sencillo.