desigualdad determinante, $AB=BA$ entonces $ \det(A^2+B^2)\ge \det(2AB) $

Question

$A$ y $B$ son dos $n\times n $ matrices reales, $AB=BA$ . ¿Podemos concluir que

$$ \det \Big(A^2+B^2\Big)\ge \det(2AB) $$

¿verdad?

Bueno, la desigualdad es interesante. si $A,B$ son matrices triangulares superiores, es obvio derecho. Si $AB\ne BA$ , $ \det \Big(A^2+B^2\Big)\ge \det(AB+BA) $ está mal.

Answer 1

La respuesta es NO. Por ejemplo $A=I_2$ y

$$ B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) $$

Entonces tenemos $B^2=-I_2$ , $A^2+B^2=0$ y $2AB=2B$ , así que ${\sf det}(A^2+B^2)=0$ y ${\sf det}(2AB)=4$ .