4 votos

Necesita ayuda en la evaluación de $\int_{-1}^1 (1-x^2)^k, k \in \mathbb{N}$

Alguien me puede decir cómo evaluar esta integral por favor?

$$\int_{-1}^1 (1-x^2)^k, k \in \mathbb{N}$$

He intentado utilizar la sustitución x = sin(t), que me permitiría expresar esto:

$$\int_{-1}^1 cos^{2k+1}(t) dt$$

pero esto realmente no ayuda. Cualquier otros trucos?

7voto

Renan Puntos 6004

Aquí es un estándar de la ruta usando integración por partes, $$\begin{align} I_k&=\int_{-1}^{1}(1-x^2)^kdx \\\\&=\left[x(1-x^2)^k\right]_{-1}^{1}+2k\int_{-1}^{1}x^2(1-x^2)^{k-1}dx \\\\&=0+2k\int_{-1}^{1}\left[(1-(1-x^2))(1-x^2)^{k-1}\right]dx \\\\&=2kI_{k-1}-2kI_{k} \end{align} $$ then, with $I_0=2,\,I_1=\frac43,$ uno se $$ I_{k}=\frac{2k}{2k+1}\cdot I_{k-1}, \quad k\ge1, $$ finalmente

$$ I_k=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^k dx = \frac{2^{2k+1}(k!)^2}{(2k+1)!}, \quad k\ge1. $$

5voto

Dr. MV Puntos 34555

Hacer cumplir la sustitución de $x\to x^{1/2}$ revela

$$\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^k\,dx&=2\int_0^1(1-x^2)^k\,dx\\\\ &=\int_0^1 x^{-1/2}(1-x)^k\,dx\\\\ &=B(1/2,k+1)\\\\ &=\frac{\Gamma(1/2)\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+3/2)}\\\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\,k!}{(k+1/2)\Gamma(k+1/2)}\\\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\,k!\Gamma(k)}{(k+1/2)2^{1-2k}\sqrt{\pi}\Gamma(2k)}\\\\ &=2\frac{4^k(k!)^2}{(2k+1)!} \end{align}$$

4voto

Franklin P. Dyer Puntos 174

Cuando expandimos $$(1-x^2)^k$$ en un binomio, obtenemos $$_kC_0-_kC_1x^2+_kC_2x^4-...+_kC_kx^{2k}(-1)^k$$ y cuando integramos termwise, obtenemos $$_kC_0x-\frac{1}{3}{_k}C_1x^3+\frac{1}{5}{_k}C_2x^5-...+\frac{1}{2k}{_k}C_kx^{2k}(-1)^k$$ Ahora, ya que estamos en la integración de $-1$ a $1$, y dado que la función es simétrica alrededor de la $y$-eje, es el mismo que el doble de la integral de $0$ a $1$, que es fácilmente evaluado: $$2\bigg({_k}C_0-\frac{1}{3}{_k}C_1+\frac{1}{5}{_k}C_2-...+\frac{1}{2k+1}{_k}C_k(-1)^{k}\bigg)$$ Y con la ayuda de Wolfram Alpha (gracias, Wolfram!) nos parece que esta es $$\frac{2(2k)!!}{(2k+1)!!}$$

2voto

Carl Schildkraut Puntos 2479

Esto es simplemente una función Beta. Mediante la sustitución de $t=x^2$, esto se reduce a

$$2\int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{t}} (1-t)^k\ dt$$

$$\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}} (1-t)^k$$

$$B\left(\frac{1}{2},k+1\right)$$

que puede ser expresada en un montón de diferentes maneras (ver los enlaces de la página de Wikipedia).

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