4 votos

$2^5 \cdot a^b=2,5ab$

Me encontré con este problema en los niveles de primaria número de el libro de la teoría, y creo que he resuelto. Bien, la pregunta que se plantea como

$2^5 \cdot 9^2 = 2,592$. Hay otros pares de $a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $2^5 \cdot a^b = 2,5ab$ está satisfecho ($a,b$ son las decenas y un representante, no un producto)?

Así que en un principio he configurado una $9\times9$ cuadrícula tamizada y la respuesta (que es "No"), principalmente por la eliminación de tales respuestas obvias como $a\ne1,2$, e $a^b\le82$. Entonces rápidamente me di cuenta de que $2^5|25ab$, y sólo hay unos pocos enteros donde $32\cdot x=25ab$, para algunos enteros $a,b,x$. Por ejemplo,$32 \cdot 81 = 2,592 = 2^5 \cdot 9^2$, pero esto no funciona para $32 \cdot 80=2,560 \neq 2^5 \cdot 6^0$ e $32 \cdot 79 = 2,528 \neq 2^5 \cdot 2^8$

Así que creo que, no, esto no es posible, excepto donde se $a=9, b=2$.

Ahora que creo que he resuelto, ¿existe un algoritmo para hacer esto de manera rápida o se requiere este tipo de análisis para todos los $a^b \cdot c^d=a,bcd$?

1voto

Vedran Šego Puntos 8041

Solución $(a,b,c,d) = (2,5,9,2)$ es único.

Como hhsaffar escribió en los comentarios, esto es fácilmente comprobable en un equipo. Aquí es cómo usted puede hacerlo en Python 3:

for a in range(0,10):
  for b in range(0,10):
    for c in range(0,10):
      for d in range(0,10):
        if 1000*a + 100*b + 10*c + d == a**b * c**d:
          print("a = ", a, "; b = ", b, "; c = ", c, "; d = ", d)

Salida:

a =  2 ; b =  5 ; c =  9 ; d =  2

Yo inicialmente la intención de hacer unos cuantos más ejemplos en otros idiomas, pero todos ellos se reducen a esto.

Editar

Desde el OP dijo que él no tiene Python, y yo mismo no uso de Arce, aquí está la versión de JavaScript que debe funcionar en cualquier navegador:

for (a = 0; a < 10; a++)
  for (b = 0; b < 10; b++)
    for (c = 0; c < 10; c++)
      for (d = 0; d < 10; d++)
        if (1000*a + 100*b + 10*c + d == Math.pow(a,b) * Math.pow(c,d))
          document.getElementById("result").innerHTML +=
            "a = " + a + "; b = " + b + "; c = " + c + "; d = " + d + "<br>";

Este código exige <div id="result"></div> algún lugar en el documento. Usted puede probar o cambiarlo aquí. Cuidado: se ejecuta en el navegador, y si usted hace un bucle infinito o a un uso intensivo del procesador, algoritmo, su navegador puede dejar de responder o bloquearse, perdiendo así usted pestañas abiertas y/o cualquier trabajo no guardado. Me sugieren que el funcionamiento de este en otro navegador (por ejemplo, en Chrome, si usted normalmente uso Firefox).

1voto

mathematics2x2life Puntos 5179

No es un "simple" manera de hacer esto. Observe que $2^5\cdot a^b=25ab$ son ambos enteros. Por lo tanto, desde el $a^b$ es un número entero, por lo que debe de ser $$ a^b=\frac{25ab}{2^5}=\frac{25ab}{32} $$ Ahora esto puede ser hecho a mano de forma muy sencilla. Sabemos que $2500<a^b<2600$. ¿Cuántos múltiplos de $32$ ajuste de esta desigualdad? Esto es fácil de comprobar con la mano, las posibilidades son $32\cdot 79=2528$, $32\cdot 80=2560$, y $32\cdot 81=2592$. Ahora solo factor de los números: $$ 2528=2^5\cdot79^1\;\;,\;\;2560=2^9\cdot5^1\;\;,\;\;2592=2^5\cdot 3^4 $$ factorización de un $2^5$ los rendimientos de las opciones $79^1$, $5^1$, y $3^4$ para el valor de $a^b$. Desde $0\leq a \leq 9$, $79^1$ se elimina. Es fácil comprobar que $5^1$ no puede trabajar para, a continuación, $a=5$ e $b=1$ e las $2^5\cdot 5^1=160 \neq 2551$.

Esto deja a $a^b=3^4$. También podemos escribir esta $a^b=(3^2)^2=9^2$ o $a^b=81^1$. Desde $a,b$ son enteros con $0\leq a \leq 9$, o bien $a=3$ e $b=4$ o $a=9$ e $b=2$. Sabemos que el último para ser verdad, y el caso de $a=3$ e $b=4$ es sencillo mostrar que no funciona. Este método no requiere una computadora o una calculadora y sólo tomó alrededor de $5$ minutos usando simple lápiz y papel.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: