11 votos

Trigonometría a paralelogramo

(Perdón por el título ambiguo, no se me ocurrió uno mejor)

Mientras hojeaba un libro de texto de la escuela secundaria, encontré lo que parecía una pregunta interesante en trigonometría. Mis habilidades en trigonometría están al límite, pero no esperaba que fuera un gran desafío. Bueno, me equivoqué:

Los lados de un paralelogramo son $a$ y $b$ y su ángulo agudo es $ \alpha $ . Los diagnósticos son $n$ y $m$ y el ángulo agudo entre ellos es $ \beta $ .

A. Demuestra: $ \frac {mn}{2ab} = \frac { \sin\alpha }{ \sin\beta }$

B. Dejar: $ \alpha = \beta $ , $a < b$ , $m < n$

Demuéstralo: $6a^2 + 2b^2 = 3m^2+n^2$

Y en el dibujo (en bruto):

enter image description here

Siguiendo la ley de los cosenos (y que $ \cos (180- \theta ) = - \cos ( \theta )$ ):

$n^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\alpha $ (en $ \Delta ABC$ )

$m^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos (180- \alpha ) = a^2 + b^2 + 2ab \cos ( \alpha )$ (en $ \Delta DAC$ )

$a^2 = ( \frac {m}{2})^2 + ( \frac {n}{2})^2 -2 \frac {m}{2} \frac {n}{2} \cos ( \beta )$ (en $ \Delta AEB$ )

$b^2 = ( \frac {m}{2})^2 + ( \frac {n}{2})^2 -2 \frac {m}{2} \frac {n}{2} \cos (180 - \beta )$ (en $ \Delta BEC$ )

Expandiendo las dos últimas ecuaciones:

$$a^2 = \frac {m^2}{4} + \frac {n^2}{4} - \frac {mn \cos ( \beta )}{2}$$

$$b^2 = \frac {m^2}{4} + \frac {n^2}{4} + \frac {mn \cos ( \beta )}{2}$$

$$ \Rightarrow $$

$$a^2 + b^2 = \frac {m^2}{2} + \frac {n^2}{2}$$

Y ahí es donde me golpeé con una pared. Tengo seis variables, y no puedo encontrar una forma de expresarlas de forma que se parezca al resultado final. Un gran contratiempo es que no pude encontrar una manera de expresar tanto el alfa como el beta en el mismo triángulo - si pudiera, entonces la ley de los pecados probablemente sería un salvador.

Si es posible, me gustaría que en vez de resolverlo, me mostraras una pauta dónde me equivoqué, o qué me estoy perdiendo. Gracias de antemano.

4voto

Rob Dickerson Puntos 758

Para la parte A, intente contar el área del paralelogramo de dos maneras diferentes, como sugirió Jim Belk.

Para la parte B, note que su diagrama tiene $n$ y $m$ invertido, ya que $m<n$ . En particular, $ \alpha $ debería ser lo contrario $m$ no $n$ . La versión modificada de su fórmula para $m$ es entonces $$m^2 = a^2+b^2 -2ab \cos\alpha. $$

Intenta combinar esto con tu fórmula $$4a^2 = m^2 + n^2 -2mn \cos\beta $$ y utilizar el resultado de la parte A.

0voto

user8269 Puntos 46

EDITAR: por favor, ignorar - He leído mal el diagrama.

La fórmula de la A está equivocada. La forma más fácil de ver esto puede ser tomar el caso en que la figura es un cuadrado del lado 1. Entonces $m=n= \sqrt2 /2$ así que el lado izquierdo es $1/4$ . $ \alpha $ y $ \beta $ son ambos ángulos rectos, así que el lado derecho es el 1.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X