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Un ideal que es cero al cuadrado.

Supongamos que$I^2=0$ implica$I=0$ para$I \triangleleft R$,$R$ un anillo (no necesariamente con identidad).

Quiero probar que asumiendo esta condición, la condición también se cumple para los ideales unilaterales$I\triangleleft_{left} R$.

A modo de contradicción, deje$I^2=0$ para un ideal izquierdo$I$, suponiendo que$\exists{a}\neq0, a\in{I}$.

¿Cómo obtengo de$a$ un ideal de$R$ para aplicar mi hipótesis?

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rschwieb Puntos 60669

Sugerencia: Si$I$ es un ideal izquierdo, entonces el conjunto de sumas finitas$\{\sum a_ir_i\mid a_i\in I, r_i\in R\}=IR$ es un ideal de$R$. Si$I$ es distinto de cero, también lo es$IR$. Mirar $(IR)^2$.


Agregado para abordar la condición poscripta que$R$ no necesariamente tiene 1:

Si su anillo carece de unidad,$IR+I=J$ sigue siendo un ideal de$R$! Mirar $J^2$.

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