Funciones de Skolem en Kunen

Question

Estoy estudiando Kunen "Introducción a la Teoría de conjuntos" y yo no puedo averiguar algo. En la prueba del lema 5.1 en el Capítulo 6, la última línea indica que el conjunto de $\{\rho<\omega_1:L(\rho) \text{ is closed under all the } H_{nm}\}$ es c.u.b. y los estados que así se desprende del lema 6.13 del capítulo 2.

Lema 6.13 desde el capítulo 2 se establece que siempre que $\kappa>\omega$ e $\mathscr A$ es un conjunto de menos de $\kappa$ finitary funciones, entonces el conjunto $\{\rho < \kappa: \rho \text{ is closed under } \mathscr A \}$ es c.u.b.

Bueno, no es exactamente la misma cosa. Alguien me puede decir cómo aplicar el lema 6.13 en este caso?

Editar: $H_{nm}$ son las funciones de Skolem definen mediante las funciones de $En$ en el mismo libro, pero no creo que su definición es relevante para demostrar que el conjunto anterior es c.u.b. Lo importante es que todos ellos son finitary.

Answer 1

Vamos a probar el siguiente lema:

Deje $\kappa>\omega$ ser regular y supongamos $\mathscr A$ es un conjunto de menos de $\kappa$ finitary funciones, entonces el conjunto $X=\{\rho < \kappa: L(\rho) \text{ is closed under } \mathscr A \}$ es c.u.b.

Es fácil ver que $L(\rho)$ se cierra: Supongamos $\gamma<\kappa$ es un ordinal límite y supongamos $\gamma\cap X$ es ilimitado en la $\gamma$. Vamos a mostrar que el $\gamma \in X$.

Deje $f \in \mathscr A$ e $x \in L(\gamma)$. A continuación, $x \in L(\beta)$ para algunos $\beta < \gamma$. Elija $\alpha < X \cap \gamma$ tal que $\alpha>\beta$. Desde $x\in L(\beta) \subset L(\alpha)$ e $\alpha$ es cerrado bajo $f$, podemos ver que $f(\alpha)\in L(\beta) \subset L(\gamma)$. Por lo tanto, $L(\gamma)$ es cerrado bajo $\mathscr A$.

Ahora vamos a mostrar que el $X$ es ilimitado en la $\kappa$. Deje $\omega<\xi<\kappa$. Vamos a ver que $\exists \beta \in \kappa\cap X(\xi < \beta)$, lo que completa la prueba. Definimos $f^n(\xi)\,(n \in \omega)$ por recursión, de la siguiente manera: vamos a $f^0(\xi)=\xi$. Supongamos que hemos elegido $f^l(\xi)<\kappa$ para todos los $l < n+1$ tal que $f^i(\xi)<f^j(\xi)$ siempre $i<j$. Deje $Cl(L(f^n(\xi)))$ es el cierre de $L(f^n(\xi))$ bajo $\mathscr A$. Sabemos que $|Cl(L(f^n(\xi)))|=|L(f^n(\xi))|=|f^n(\xi)|<\kappa$. Desde $\kappa$ es regular, se puede recoger $f^n(\xi)<\alpha<\kappa$ tal que $Cl(L(f^n(\xi)))\subset L(\alpha)$ (mirando a las filas). Dejamos $f^{n+1}(\xi)=\alpha$.

Ahora nos vamos a $f^\omega(\xi)=\bigcup_{n<\omega}f^n(\xi)$. Observe que $f^\omega(\xi)<\kappa$ es un límite ordinal mayor que $\xi$. Vamos a demostrar que $f^\omega(\xi)\in X$.

Deje $x \in L(f^\omega(\xi))$ y deje $g \in \mathscr A$. Desde $f^\omega(\xi)$ es el límite, no existe $n<\omega$ tal que $x \in L(f^n(\xi))$. Por la construcción, $g(x)\in L(f^{n+1}(\xi))\subset L(f^\omega(\xi))$. $\Box$