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¿Es el vector producto cruzado sólo definido para 3D?

Wikipedia presenta el vector producto de dos vectores $\vec$ y $\vec b$ como $$ \vec \times\vec b=(||\vec un||||\vec b||\sin\Theta)\vec n $$ Luego se menciona que $\vec$ n es el vector normal al plano hecho por $\vec$ y $\vec b$, lo que implica que $\vec$ y $\vec b$ son vectores 3D. Wikipedia menciona algo acerca de una 7D producto cruzado, pero no voy a pretender que yo entiendo.

Mi idea, que sigue sin confirmar con cualquier fuente, es que un producto cruzado puede ser el pensamiento de un vector el cual es ortogonal a todos los vectores que se están cruzando. Si, y eso es un gran SI, este es el derecho sobre todas las dimensiones, sabemos que para que un conjunto de $n-1$ $$n-dimensional vectores, existe un vector que es ortogonal a todos ellos. La magnitud tendría algo que ver con el área/volumen/hipervolumen/etc. hecho por los vectores que estamos atravesando.

Estoy en lo cierto al suponer que este aspecto multidimensional de la cruz de los vectores existe o es que la última parte absoluta de la basura?

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Kevin Dente Puntos 7732

Sí, estás en lo correcto. Se puede generalizar el producto cruzado a $n$ dimensiones diciendo que es una operación que toma en $n-1$ vectores y produce un vector que es perpendicular a cada uno de ellos. Esto puede ser fácilmente definido mediante el exterior del álgebra y la estrella de Hodge operador http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual: el producto cruzado de $v_1,\ldots,v_{n-1}$ es entonces sólo $*(v_1 \wedge v_2 \cdots \wedge v_{n-1}$).

Entonces la magnitud de la cruz del producto de los n-1 vectores es el volumen de los de mayores dimensiones del paralelogramo que determinan. La especificación de la magnitud y de ser ortogonal a cada uno de los vectores se limita la posibilidad de dos opciones: una orientación escoge uno de estos.

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riemannium Puntos 336

La respuesta a este problema es, por desgracia, no muy bien conocidos. Supongamos que un r-ary operación en ciertos d-dimensional espacio de V. Entonces, un r-veces d-dimensional de "productos cruzados" multilineal operación existe:

$$ (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r): V^{dr}=\underbrace{V^d\times \cdots \times V^d}_{r}\longrightarrow V^d$$

como $$\forall i=1,2,...,r$$ tenemos que

$$ (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot C_i=0$$

$$ (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)=\det (C_i\cdot C_j)$$

Eckmann (1943) y Whitehead (1963) resolvió este problema en el caso continuo sobre el real euclidiana espacios, mientras que el Marrón y el Gris (1967) resuelto el multilineal caso. Por otra parte, la solución que voy a ofrecer es válido en cualquier campo, con características diferentes de 2 y $1\leq r\leq$ d. El teorema (debido a Eckmann, Whitehead, y de color Marrón-Gris) dice que la "generalizada de la cruz del producto" (incluyendo el 3d caso) existe cuando:

A) $d$ es, incluso, $r = 1$. Una cruz de producto existe en cada dimensión con un solo factor. Esto se puede considerar una especie de "Mecha rotación" si usted es consciente de este concepto en todas las dimensiones! Este producto cruzado con un solo factor es un poco no-trivial, pero fácil de entender.

B) $d$ es arbitraria, $r = d − 1$. Una cruz de producto existe en dimensión arbitraria d y (d-1) factores. También se dice que un arbitrario (d-1) veces la cruz de producto existe en cualquier dimensión. Acaba de tomar el determinante de los (d-1) con los vectores de la versors $(e_1,...,e_r)$!

C) $d = 3, 7, r = 2$. 2 veces de la cruz vectorial existe en la dimensión 3 y 7. Por lo tanto, el "bilineal" cruz del producto puede sólo existe con dos factores en 3D y 7D. El 3D de producto cruzado es bien sabido, la 7D cruz del producto se pueden encontrar (tanto en coordinar y libre de coordinar las versiones) en la wikipedia.

D) $d = 8, r = 3$. 3-fold cross producto existe en ocho dimensiones. Allí, hay un no-trivial de 3 veces la de la cruz en el 8D, es decir, se puede construir un no-trivial de producto cruzado con 3 vectores en 8 dimensiones. No he visto una expresión coordinada de esto, pero creo que alguien lo hizo (podría escribir un post sobre ello, aunque, en mi blog, en el futuro cercano).

Esto sucede en euclidiana de la firma, supongo que hay algunas variantes en pseudo-euclídea métricas (y tal vez algunos no trivial subcases; he oído hablar de un no-trivial de 3 veces la de la cruz del producto en 4D, pero no puedo encontrar una referencia). Además, usted puede encontrar una conclusión similar en el libro de álgebras de Clifford y Spinors por P. Lounesto. El álgebra geométrica es muy útil cuando se manipula con este vector de material desde que los vectores son sólo un grado particular de un polyvector/cliffor/hoja...

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Matt Dawdy Puntos 5479

Bueno, depende de a qué te refieres por "el vector producto vectorial." Hay una generalización a $n$ dimensiones que toma $n-1$ vectores como entrada y devuelve lo que puede ser pensado como un vector ortogonal a todos ellos. Se generaliza a una operación de tomar $k$ vectores como entrada donde $k \le$ n, pero la salida no es algo como un vector, pero algo más complicado. Ver cuña de producto.

Hay una forma más específica de la generalización de $7 a$ dimensiones procedentes de la multiplicación en el octonions de la misma manera que el producto resultante puede ser considerado como viene de la multiplicación de los cuaterniones.

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Halfgaar Puntos 2866

El producto cruzado es muy estrechamente relacionado con el concepto de cuaterniones. El producto cruzado "identidades" que operan en la unidad de vectores de $\rm \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}$ son esencialmente similares a las identidades en el quaternion unidades (base de los elementos) $i,j,k$.

Observe que cuaterniones tiene cuatro unidades: $1, i, j, k$, y el 3-D cruz del producto trabaja en espacios vectoriales de dimensión 4-1 = 3.

Las siete dimensiones de producto cruzado es análoga a la octonions, y tiene una definición similar que no quiero enumerar aquí.

Estas son las únicas dimensiones en el que un "producto" de un tipo que existe. La relación entre el vector de la operación y la multiplicación de los cuaterniones/octonions es la razón subyacente de por qué. Cuaterniones y Octonions componen lo que se conoce como un cerrado normativa de la división de álgebra. Y real cerrada álgebras de división sólo puede tener dimensiones de 1,2,4,8.

Como @QiaochuYuan menciona, la generalización a otras dimensiones de los rendimientos de algo distinto a un vector -- una operación de ese tipo existe y puede ser utilizado en una manera similar, pero no tiene la amabilidad de la recuperación de un vector en el final.

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Andrew Bolster Puntos 111

Ver mi respuesta aquí para ver un ejemplo de una generalización de la cruz del producto a 4 dimensiones. Aviso, esta generalización trabaja en $n$-dimensiones y siempre devuelven un vector ortogonal a todo $n-1$ vectores de utilizar. Y se calcula en casi exactamente la misma forma de calcular la normal de la cruz del producto, no es nada complicado. Para obtener el producto cruzado de $n-1$ vectores de dimensión $n$, sólo tiene que hacer una matriz en la cual se ha fila superior con entradas de $i_1, i_2, \ldots, i_n$, generalizar el normal $i, j, k$ en 3 dimensiones. A continuación, el siguiente $n-1$ filas de la $n-1$ vectores de dimensión $n$. Ahora, tome el determinante y obtener su $$n-dimensional resultado.

Referencia: me enteré de esto cuando me tomó un 4to semestre de cálculo en la universidad, donde se utilizó Cálculo Vectorial por Susan Jane Colley. Se introdujo en los ejercicios de la Sección 1.6. Uno de los ejercicios consiste en demostrar que el nuevo vector es ortogonal a la de los anteriores.

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