10 votos

Encuentra el radio del aro.

Un aro descansa verticalmente en la escalera como se muestra en el diagrama. AB = 12 cm y BC = 8 cm. Encuentra el radio del aro.

s

Creo que el Teorema de Pitágoras puede usarse para resolver la pregunta.

26voto

tatan Puntos 1609

introduzca la descripción de la imagen aquí

¿Puedes tomarlo desde aquí? (Trate de usar el teorema de Pitágoras)

Ignora los números debajo de la línea horizontal (eje X). Eran básicamente las coordenadas del eje X de la página de GeoGebra.

7voto

Theo Bendit Puntos 2468

(Yo no soy un dibujo, así que marca en el extra construcciones en el diagrama para usted, si es necesario.)

Deje $O$ ser el centro del círculo. Dibujar una línea radial desde el segmento $O$ a $A$, y tenga en cuenta que este segmento de línea que es perpendicular a $AB$, como $AB$ es tangente al círculo.

Ahora, extender una línea paralela a $AB$, pasando a través de $C$. Es decir, esta línea se ejecutará a través de los más altos de la escalera. Se intersecta $OA$ a un punto, se $D$. Desde $CD$ es paralelo a $AB$, también será perpendicular a $OA$, y, en particular, el ángulo de $CDO$ es un ángulo recto.

Esto hace que $CDO$ un ángulo recto de un triángulo, con la hipotenusa $OC$. Tenga en cuenta que $OC$ es también una radio del círculo.

Dado $DCBA$ es un rectángulo, se deduce que el $|DC| = |BA| = 12$. También, $$|OA| = |OD| + |DA| = |OD| + |BC| = |OD| + 8$$ Desde $OA$ es un radio, tenemos $|OC| = |OA|$, por lo que $$|OD| = |OC| - 8.$$ La aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo $CDO$, por lo tanto, obtener, $$|OC|^2 = |OD|^2 + |DC|^2 = (|OC| - 8)^2 + 12^2.$$ La expansión, $$|OC|^2 = |OC|^2 - 16|OC| + 208 \implies 16|OC| = 208 \implies |OC| = 13.$$ Como $OC$ es una radio de la circunferencia, el radio es $13$.

3voto

Ajay Mishra Puntos 21

Alternativa a @mathysics,, dada $AB = 12 cm, BC = 8 cm \Rightarrow AC = 2 \sqrt{52} cm $ Let $ \angle CAB = \alpha$ , $$\Rightarrow \cos(90 - \alpha) = \cfrac{r^2 + 208 - r^2}{2r (2 \sqrt{52})}$$ $$\Rightarrow \sin \alpha = \cfrac{\sqrt{52}}{r} $$ $$\Rightarrow \cfrac{8}{2\sqrt{52}} = \cfrac{\sqrt{52}}{r} $$ $% PS

2voto

mathysics Puntos 13

El teorema de Pitágoras implica que $AC=4\sqrt{13}$. Además, $\angle BAC=\arctan{\frac{2}{3}}$. Deje $O$ ser el centro del aro. Desde $\angle OAB=\angle OAC+\angle BAC=\frac{\pi}{2}$, debemos tener $\angle OAC=\frac{\pi}{2}-\arctan{\frac{2}{3}}$. Además, $\triangle OAC$ es isósceles lo $\angle AOC=2\arctan{\frac{2}{3}}$. Podemos terminar con la ley de los senos en $\triangle OAC$: $$\frac{\sin{\left(2\arctan{\frac{2}{3}}\right)}}{4\sqrt{13}}=\frac{\cos{\arctan{\frac{2}{3}}}}{R}$$ La solución de este rendimientos $\boxed{R=13}$.

1voto

Peter Puntos 111

No necesitas trigonometría. De la respuesta de tatan, aplique Pitágoras al triángulo AEG.

$r^2 = (r-8)^2 + 12^2$

que inmediatamente te da $16r=208$ , así que $r=13$ .

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